As matrizes e são inversíveis? Se sim, calcule , e os determinantes das mesmas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas matrizes quadradas de ordem 2, chamadas e , ambas definidas por:
O que precisamos descobrir é se essas matrizes são inversíveis. Se forem, vamos calcular as inversas e , o produto , o produto e os determinantes de cada uma delas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, matrizes inversas e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as matrizes e são inversíveis. Uma matriz quadrada é inversível se o seu determinante for diferente de zero.
O determinante de uma matriz é dado por:
Vamos calcular o determinante de .
Passo 3
Calculando o determinante de :
Sabemos que , então:
Como o determinante de é 1, que é diferente de zero, é inversível. O mesmo vale para , já que é igual a .
Passo 4
Agora que sabemos que e são inversíveis, vamos encontrar a inversa de , ou seja, .
Para uma matriz , a inversa é dada por:
Aplicando isso a M :
M^-1 = 11 cos theta & sin theta -sin theta & cos theta = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta
Como N = M , também temos:
N^-1 = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto M N .
Multiplicando duas matrizes M = a & b c & d e N = e & f g & h , o resultado é:
M N = a e + b g & a f + b h c e + d g & c f + d h
Aplicando isso para M e N :
M N = cos theta cdot cos theta + (-sin theta) cdot sin theta & cos theta cdot (-sin theta) + (-sin theta) cdot cos theta sin theta cdot cos theta + cos theta cdot sin theta & sin theta cdot (-sin theta) + cos theta cdot cos theta
Simplificando termo a termo:
M N = cos^2 theta - sin^2 theta & -2 sin theta cos theta 2 sin theta cos theta & -sin^2 theta + cos^2 theta
Usando a identidade trigonométrica cos^2 theta - sin^2 theta = cos 2theta e 2 sin theta cos theta = sin 2theta , temos:
M N = cos 2theta & -sin 2theta sin 2theta & cos 2theta
Passo 6
De forma semelhante, vamos calcular N M . Como N = M , o resultado será o mesmo que M N :
N M = cos 2theta & -sin 2theta sin 2theta & cos 2theta
Passo 7
Por fim, já calculamos os determinantes das matrizes M e N no Passo 3, que são iguais a 1.
Resposta
Sim, as matrizes M e N são inversíveis. As inversas são:
M^-1 = N^-1 = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta
Os produtos são:
M N = N M = cos 2theta & -sin 2theta sin 2theta & cos 2theta