Considere as matrizes
M=[cc cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ], N=[cc cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ]
As matrizes M e N são inversíveis? Se sim, calcule M^-1, M N, N M e os determinantes das mesmas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas matrizes quadradas de ordem 2, chamadas M e N , ambas definidas por:
M = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta , N = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta
O que precisamos descobrir é se essas matrizes são inversíveis. Se forem, vamos calcular as inversas M^-1 e N^-1 , o produto M N , o produto N M e os determinantes de cada uma delas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, matrizes inversas e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as matrizes M e N são inversíveis. Uma matriz quadrada é inversível se o seu determinante for diferente de zero.
O determinante de uma matriz A = a & b c & d é dado por:
det(A) = a cdot d - b cdot c
Vamos calcular o determinante de M .

Passo 3

Calculando o determinante de M :
det(M) = cos theta cdot cos theta - (-sin theta) cdot sin theta = cos^2 theta + sin^2 theta
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1 , então:
det(M) = 1
Como o determinante de M é 1, que é diferente de zero, M é inversível. O mesmo vale para N , já que N é igual a M .

Passo 4

Agora que sabemos que M e N são inversíveis, vamos encontrar a inversa de M , ou seja, M^-1 .
Para uma matriz A = a & b c & d , a inversa é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Aplicando isso a M :
M^-1 = 11 cos theta & sin theta -sin theta & cos theta = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta
Como N = M , também temos:
N^-1 = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto M N .
Multiplicando duas matrizes M = a & b c & d e N = e & f g & h , o resultado é:
M N = a e + b g & a f + b h c e + d g & c f + d h
Aplicando isso para M e N :
M N = cos theta cdot cos theta + (-sin theta) cdot sin theta & cos theta cdot (-sin theta) + (-sin theta) cdot cos theta sin theta cdot cos theta + cos theta cdot sin theta & sin theta cdot (-sin theta) + cos theta cdot cos theta
Simplificando termo a termo:
M N = cos^2 theta - sin^2 theta & -2 sin theta cos theta 2 sin theta cos theta & -sin^2 theta + cos^2 theta
Usando a identidade trigonométrica cos^2 theta - sin^2 theta = cos 2theta e 2 sin theta cos theta = sin 2theta , temos:
M N = cos 2theta & -sin 2theta sin 2theta & cos 2theta

Passo 6

De forma semelhante, vamos calcular N M . Como N = M , o resultado será o mesmo que M N :
N M = cos 2theta & -sin 2theta sin 2theta & cos 2theta

Passo 7

Por fim, já calculamos os determinantes das matrizes M e N no Passo 3, que são iguais a 1.

Resposta

Sim, as matrizes M e N são inversíveis. As inversas são:
M^-1 = N^-1 = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta
Os produtos são:
M N = N M = cos 2theta & -sin 2theta sin 2theta & cos 2theta
E os determinantes de M e N são ambos iguais a 1.

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