Q5: Considere A uma matriz quadrada cujas colunas são a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in \mathbb{R}^{4}. Seja B uma matriz com colunas b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} que satisfazem:
b_{1}=a_{1}, b_{2}=-4 a_{1}+a_{4}, b_{3}=a_{2}+3 a_{3} e b_{4}=a_{2}. Sabendo que \operatorname{det}(A)=-1, assinale o valor \operatorname{do} \operatorname{det}(B) :
(A) 3
(B) -3
(C) 12
(D) -12
(E) Não seí

Passo 1

O enunciado dá A=[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}] com \det(A)=-1 e define B=[b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}] por
b_{1}=a_{1},\quad b_{2}=-4a_{1}+a_{4},\quad b_{3}=a_{2}+3a_{3},\quad b_{4}=a_{2}.
O conteúdo envolve usar a propriedade
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)
no caso B=A\,M, onde M é a matriz de transformação de colunas.

Passo 2

Vamos escrever
B=A\,M
de modo que cada coluna de M seja o vetor de coeficientes que expressa b_{j} em relação às colunas de A. Em outras palavras, b_{j}=\sum_{i=1}^{4}A_{i}M_{ij}, onde A_{i}=a_{i}.

Passo 3

Os coeficientes são:
b_{1}=1\cdot a_{1}+0\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+0\cdot a_{4},
b_{2}=-4\cdot a_{1}+0\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+1\cdot a_{4},
b_{3}=0\cdot a_{1}+1\cdot a_{2}+3\cdot a_{3}+0\cdot a_{4},
b_{4}=0\cdot a_{1}+1\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+0\cdot a_{4}.
Assim
M=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculemos \det(M) por expansão na primeira linha. Os únicos termos não nulos são em coluna 1 e coluna 2:
\det(M) =1\cdot C_{1,1}+(-4)\cdot C_{1,2},
onde
C_{1,1}=\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad C_{1,2}=-\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Calcula-se
\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} =-3 \quad\text{e}\quad \det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0,
portanto \det(M)=1\cdot(-3)+(-4)\cdot0=-3.

Passo 5

Como B=A\,M, vale
\det(B)=\det(A)\,\det(M)=(-1)\cdot(-3)=3.

Resposta

3

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