Q10: A matriz R=M\left[\begin{array}{rrrr}-1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right] M^{-1}, \operatorname{com} M=\left[\begin{array}{rrrr}-3 & -1 & 3 & 3 \\\\ -1 & -1 & -3 & 5 \\\\ 4 & -2 & 1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 1 & 5\end{array}\right],
representa uma reflexāo através de um plano om \mathbb{R}^{4}. O autoespaço de R associado ao autovalor -1 é:
(A) \operatorname{span}\{(-3,-1,4,2),(-1,-1,-2,2)\}
(B) \operatorname{span}\{(-3,-1,4,2),(3,5,1,5)\}
(C) \operatorname{span}\{(-1,-1,-2,2),(3,-3,1,1)\}
(D) \operatorname{span}\{(3,-3,1,1),(3,5,1,5)\}

Passo 1

O enunciado dá
R=M\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\\ 0&1&0&0\\\ 0&0&1&0\\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}M^{-1},
com
M=\begin{pmatrix}-3&-1&3&3\\\ -1&-1&-3&5\\\ 4&-2&1&1\\\ 2&2&1&5\end{pmatrix},
e pede o autoespaço de R associado ao autovalor -1. O conteúdo aqui é semelhança de matrizes e a relação entre a matriz diagonalizada e seus autovetores.

Passo 2

Como
D=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\\ 0&1&0&0\\\ 0&0&1&0\\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix},
os autovalores de R são iguais aos de D, isto é, -1,1,1,-1. Os autovalores -1 ocorrem nas posições 1 e 4 de D.

Passo 3

Para qualquer autovalor em posição i, um autovetor de R é dado por
v_i = M e_i,
onde e_i é o vetor canônico com 1 na i-ésima posição. Logo, os autovetores de R para -1 são
v_1 = \text{coluna 1 de }M = (-3,-1,4,2)^\mathsf{T}, \quad v_4 = \text{coluna 4 de }M = (3,5,1,5)^\mathsf{T}.

Passo 4

O autoespaço de R associado a -1 é o espaço gerado por esses dois vetores, ou seja
\operatorname{span}\{(-3,-1,4,2),(3,5,1,5)\}.

Resposta

(B) \operatorname{span}\{(-3,-1,4,2),(3,5,1,5)\}

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