Q1: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, \mathrm{em} \mathbb{R}^{3} :
R=\left[\begin{array}{rrr} \frac{7}{9} & -\frac{4}{45} & -\frac{28}{45} \\\ \frac{4}{9} & \frac{7}{9} & \frac{4}{9} \\\ \frac{4}{9} & -\frac{28}{45} & \frac{29}{45} \end{array}\right]
Sabendo que o eixo de rotação é gerado pelo vetor (1, a, b), assinale o valor de a.
(A) -4
(B) 0
(C) 1
(D) -\frac{3}{2}
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de rotação
R=\begin{pmatrix} \tfrac{7}{9} & -\tfrac{4}{45} & -\tfrac{28}{45} \\[6pt] \tfrac{4}{9} & \tfrac{7}{9} & \tfrac{4}{9} \\[6pt] \tfrac{4}{9} & -\tfrac{28}{45} & \tfrac{29}{45} \end{pmatrix}
em \mathbb{R}^3 e diz que o eixo é gerado por (1,a,b). Como o eixo de rotação é fixo, esse vetor deve satisfazer
R\,(1,a,b)^T=(1,a,b)^T,
ou seja, (1,a,b) é um auto­vetor de autovalor 1.]

Passo 2

Escrevendo componente a componente a igualdade R(1,a,b)^T=(1,a,b)^T, temos
\frac{7}{9}-\frac{4a}{45}-\frac{28b}{45}=1,
\frac{4}{9}+\frac{7a}{9}+\frac{4b}{9}=a,
\frac{4}{9}-\frac{28a}{45}+\frac{29b}{45}=b.

Passo 3

Multiplicamos a primeira equação por 45 e a segunda por 9 para eliminar denominadores:
35-4a-28b=45\quad\Longrightarrow\quad -4a-28b=10\quad\Longrightarrow\quad 2a+14b=-5,
4+7a+4b=9a\quad\Longrightarrow\quad 4+4b=2a\quad\Longrightarrow\quad 2a-4b=4.

Passo 4

Da equação 2a-4b=4 segue a=2+2b. Substituindo em 2a+14b=-5
2(2+2b)+14b=-5\quad\Longrightarrow\quad 4+4b+14b=-5\quad\Longrightarrow\quad 18b=-9\quad\Longrightarrow\quad b=-\tfrac12,
e então
a=2+2\Bigl(-\tfrac12\Bigr)=1.

Resposta

(C) 1

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