A = \begin{pmatrix} -\frac{17}{2} & -\frac{11}{2}\\[6pt] \frac{33}{4} & \frac{21}{4} \end{pmatrix}
e um vetor não–nulo \vec v=(x,y) tal que
\lim_{n\to\infty}\|A^n\vec v\|=0.
Isso significa que \vec v deve pertencer ao espaço próprio correspondente ao valor próprio de A cuja magnitude é menor que 1. Queremos então determinar \,y/x nesse caso.]
Passo 2
Calculamos os autovalores de A. A soma dos elementos da diagonal é
cuja discriminante é 13^2-4\cdot4\cdot3=121. Logo os autovalores são
\lambda_1 = -\tfrac{1}{4}, \quad \lambda_2 = -3.
Passo 3
Como |\lambda_2|=3>1 gera crescimento, para que \|A^n\vec v\|\to0 é preciso que a componente de \vec v em direção ao autovetor de \lambda_2 seja zero. Assim \vec v deve ser proporcional ao autovetor de \lambda_1=-\tfrac14.
Passo 4
Encontramos o autovetor associado a \lambda_1=-\tfrac{1}{4} resolvendo
(A - (-\tfrac{1}{4})I)\,\vec v = 0 \;\Longleftrightarrow\; \begin{pmatrix} -\frac{17}{2}+\tfrac{1}{4} & -\frac{11}{2}\\[4pt] \frac{33}{4} & \frac{21}{4}+\tfrac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.