Q4: Seja
A=\left[\begin{array}{rr} -\frac{17}{2} & -\frac{11}{2} \\\ \frac{33}{4} & \frac{21}{4} \end{array}\right]
e seja \vec{v}=(x, y) \neq \overrightarrow{0} um vetor tal que
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|A^{n} \vec{v}\right\|=0 .
Então y / x vale:
(A) -\frac{1}{2}
(B) 0
(C) -1

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -\frac{17}{2} & -\frac{11}{2}\\[6pt] \frac{33}{4} & \frac{21}{4} \end{pmatrix}
e um vetor não–nulo \vec v=(x,y) tal que
\lim_{n\to\infty}\|A^n\vec v\|=0.
Isso significa que \vec v deve pertencer ao espaço próprio correspondente ao valor próprio de A cuja magnitude é menor que 1. Queremos então determinar \,y/x nesse caso.]

Passo 2

Calculamos os autovalores de A. A soma dos elementos da diagonal é
\mathrm{tr}\,A = -\tfrac{17}{2} + \tfrac{21}{4} = -\tfrac{13}{4},
e o determinante é
\det A = \Bigl(-\tfrac{17}{2}\Bigr)\Bigl(\tfrac{21}{4}\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{11}{2}\Bigr)\Bigl(\tfrac{33}{4}\Bigr) = \tfrac{3}{4}.
A equação característica é
\lambda^2 - (\mathrm{tr}\,A)\,\lambda + \det A = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 + \tfrac{13}{4}\lambda + \tfrac{3}{4} = 0,
ou multiplicando por 4:
4\lambda^2 + 13\lambda + 3 = 0,
cuja discriminante é 13^2-4\cdot4\cdot3=121. Logo os autovalores são
\lambda_1 = -\tfrac{1}{4}, \quad \lambda_2 = -3.

Passo 3

Como |\lambda_2|=3>1 gera crescimento, para que \|A^n\vec v\|\to0 é preciso que a componente de \vec v em direção ao autovetor de \lambda_2 seja zero. Assim \vec v deve ser proporcional ao autovetor de \lambda_1=-\tfrac14.

Passo 4

Encontramos o autovetor associado a \lambda_1=-\tfrac{1}{4} resolvendo
(A - (-\tfrac{1}{4})I)\,\vec v = 0 \;\Longleftrightarrow\; \begin{pmatrix} -\frac{17}{2}+\tfrac{1}{4} & -\frac{11}{2}\\[4pt] \frac{33}{4} & \frac{21}{4}+\tfrac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.
Isso dá o sistema
-\tfrac{33}{4}\,x \;-\;\tfrac{11}{2}\,y = 0 \;\Longrightarrow\; 33\,x + 22\,y = 0 \;\Longrightarrow\; y = -\tfrac{3}{2}\,x.]

Passo 5

Concluímos que o quociente procurado é
\frac{y}{x} = -\tfrac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{y}{x} = -\tfrac{3}{2}. (Nenhuma das alternativas dadas corresponde a esse valor.)

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