Q8: Calcule o determinante da matriz
\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & -6 & -3 \\\\ -1 & -7 & -7 & -5 \end{array}\right]
(A) 7
(B) 8
(C) 6
(D) 9
(E) Nâo sei

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & -6 & -3 \\\\ -1 & -7 & -7 & -5 \end{pmatrix}
e pede \det(A). Como o primeiro elemento da primeira linha é zero, é conveniente usar a expansão de Laplace ao longo da primeira linha.

Passo 2

Aplicando a expansão de Laplace na primeira linha, temos
\det(A) = a_{12}(-1)^{1+2}\det(M_{12}) \;+\; a_{13}(-1)^{1+3}\det(M_{13}) \;+\; a_{14}(-1)^{1+4}\det(M_{14}),
onde a_{1j} são os elementos da primeira linha e M_{1j} os menores correspondentes. Como a_{12}=3, a_{13}=3, a_{14}=3, isso dá
\det(A)=-3\,\det(M_{12}) \;+\;3\,\det(M_{13}) \;-\;3\,\det(M_{14}).

Passo 3

O menor M_{12} (eliminando linha 1 e coluna 2) é
M_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -6 & -3\\\\ -1 & -7 & -5 \end{pmatrix}.
Calculando seu determinante por regra de Sarrus ou cofactores:
\det(M_{12}) =1\cdot\begin{vmatrix}-6 & -3\\\\ -7 & -5\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}1 & -3\\\\ -1 & -5\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}1 & -6\\\\ -1 & -7\end{vmatrix} =1\,(9)-1\,(-8)+1\,(-13)=4.

Passo 4

O menor M_{13} (eliminando linha 1 e coluna 3) é
M_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -5 & -3\\\\ -1 & -7 & -5 \end{pmatrix}.
De modo análogo:
\det(M_{13}) =1\,(4)-1\,(-8)+1\,(-12)=0.

Passo 5

O menor M_{14} (eliminando linha 1 e coluna 4) é
M_{14} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -5 & -6\\\\ -1 & -7 & -7 \end{pmatrix}.
Calculando:
\det(M_{14}) =1\,(-7)-1\,(-13)+1\,(-12)=-6.

Passo 6

Substituindo em
\det(A)=-3\det(M_{12})+3\det(M_{13})-3\det(M_{14})
vemos
\det(A)=-3\cdot4+3\cdot0-3\cdot(-6)=-12+0+18=6.

Resposta

A alternativa correta é a (C) 6.

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