Considere a matriz real A=[lla & b c & d], em que a, b, c, d são os 4 primeiros digitos do R.A do aluno 1 .
a) Determine A^2-3 A (o b s : A^2=A cdot A).
b) Calcule o determinante de A.
c) Determine, havendo, a matriz inversa de A. Não havendo, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma matriz quadrada A de ordem 2, definida assim:
A = a & b c & d
Onde a, b, c, d são os quatro primeiros dígitos do R.A do aluno. Vamos precisar entender operações com matrizes, como multiplicação de matrizes, determinantes e inversas. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte a) Queremos determinar A^2 - 3A , onde A^2 = A cdot A .
Primeiro, vamos calcular A^2 :
A^2 = A cdot A = a & b c & d cdot a & b c & d
Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda.
Calculando cada elemento de A^2 :
  • Elemento (1,1):
a cdot a + b cdot c = a^2 + bc
  • Elemento (1,2):
a cdot b + b cdot d = ab + bd = b(a + d)
  • Elemento (2,1):
c cdot a + d cdot c = ca + dc = c(a + d)
  • Elemento (2,2):
c cdot b + d cdot d = cb + d^2
Então, A^2 fica:
A^2 = a^2 + bc & b(a + d) c(a + d) & cb + d^2
Agora, vamos calcular 3A :
3A = 3 cdot a & b c & d = 3a & 3b 3c & 3d
Agora, subtraímos 3A de A^2 :
A^2 - 3A = a^2 + bc & b(a + d) c(a + d) & cb + d^2 - 3a & 3b 3c & 3d = a^2 + bc - 3a & b(a + d) - 3b c(a + d) - 3c & cb + d^2 - 3d
Podemos simplificar ainda mais:
A^2 - 3A = a^2 + bc - 3a & b(a + d - 3) c(a + d - 3) & cb + d^2 - 3d

Passo 3

Parte b) Vamos calcular o determinante de A .
Para uma matriz 2 times 2 , o determinante é dado por:
det(A) = ad - bc
Então, substituindo os valores da nossa matriz:
det(A) = a cdot d - b cdot c

Passo 4

Parte c) Agora, vamos determinar se a matriz A tem inversa. Se sim, qual é essa inversa.
Sabemos que uma matriz A tem inversa se e somente se o seu determinante não for zero, ou seja, det(A) neq 0 .
Já calculamos o determinante na parte b):
det(A) = ad - bc
Então, se ad - bc neq 0 , a matriz A tem inversa. A fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2 é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Substituindo o determinante:
A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Caso ad - bc = 0 , a matriz A não tem inversa, pois não podemos dividir por zero.

Resposta

a) A^2 - 3A = a^2 + bc - 3a & b(a + d - 3) c(a + d - 3) & cb + d^2 - 3d
b) det(A) = ad - bc
c) A matriz A tem inversa se e somente se ad - bc neq 0 . Quando existe, a inversa é:
A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Caso contrário, A não possui inversa porque o determinante é zero.

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