Sejam U e W subespaços de P3(R) dados por U=a x^3+b x^2+c x+d in P3(R) ; a=b-c e W=a x^3+b x^2+c x+d in P3(R) ; d=a+b+c
Determine dim U, dim W, dim(U cap W) e dim(U+W).

Passo 1

O enunciado define em P3(R) dois subespaços
U=a x^3+b x^2+c x+d: a=b-c,
W=a x^3+b x^2+c x+d: d=a+b+c,
e pede dim U, dim W, dim(Ucap W) e dim(U+W).

Passo 2

Como dim P3(R)=4 e cada um de U e W é dado por exatamente uma equação linear independente em (a,b,c,d), cada subespaço tem dimensão reduzida em 1. Logo
dim U=4-1=3,
dim W=4-1=3

Passo 3

Em Ucap W validam-se simultaneamente
a=b-c, d=a+b+c
Substituindo a=b-c na segunda condição obtemos
d=(b-c)+b+c=2b
Portanto os parâmetros livres são b e c, e a e d ficam determinados. Assim
dim(Ucap W)=2

Passo 4

Pela fórmula de Grassmann,
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=3+3-2=4

Resposta

dim U=3
dim W=3
dim(Ucap W)=2
dim(U+W)=4

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