Dados U e W subespaços do espaço vetorial V determine, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de U.
(ii) uma base e a dimensão de W.
(iii) uma base e a dimensão de U cap W.
(iv) uma base e a dimensão de U+W.
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=t-z=0, W=(x, y, z, t) in R^4 ; z=t=0 e V=R^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e querendo encontrar bases e dimensões de certos subespaços dentro de ℝ⁴. Precisamos entender bem o que são bases, dimensões, interseção e soma de subespaços para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o subespaço U:
U = (x, y, z, t) in R^4 ; x + y = 0 e t - z = 0
Isso significa que qualquer vetor em U satisfaz essas duas equações.

Passo 3

Vamos resolver as equações para expressar algumas variáveis em termos de outras:
  1. x + y = 0 y = -x
  2. t - z = 0 t = z
Então, podemos escrever um vetor em U como:
(x, -x, z, z)
Onde x e z são livres para escolher qualquer valor real.

Passo 4

Agora, vamos escrever essa expressão de vetor em termos de combinações lineares:
(x, -x, z, z) = x cdot (1, -1, 0, 0) + z cdot (0, 0, 1, 1)
Isso mostra que quaisquer vetores em U podem ser formados a partir das combinações dos vetores (1, -1, 0, 0) e (0, 0, 1, 1) .

Passo 5

Portanto, uma base para U é:
, (1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) ,
E como temos dois vetores na base, a dimensão de U é 2.

Passo 6

Agora, vamos para o subespaço W:
W = (x, y, z, t) in R^4 ; z = 0 e t = 0
Isso significa que qualquer vetor em W tem z = 0 e t = 0.

Passo 7

Então, podemos escrever um vetor em W como:
(x, y, 0, 0)
Aqui, x e y são livres para escolher qualquer valor real.

Passo 8

Escrevendo esse vetor como combinação linear:
(x, y, 0, 0) = x cdot (1, 0, 0, 0) + y cdot (0, 1, 0, 0)
Isso mostra que qualquer vetor em W é uma combinação dos vetores (1, 0, 0, 0) e (0, 1, 0, 0) .

Passo 9

Portanto, uma base para W é:
, (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) ,
E como temos dois vetores na base, a dimensão de W é 2.

Passo 10

Agora, vamos encontrar a interseção de U e W, ou seja, U cap W . Isso inclui todos os vetores que estão em U e em W ao mesmo tempo.

Passo 11

Um vetor está em U se:
(x, y, z, t) = (x, -x, z, z)
E está em W se z = 0 e t = 0.
Então, para estar em U cap W , precisamos que:
z = 0 e z = t t = 0
Substituindo z = 0 na expressão de U:
(x, -x, 0, 0)

Passo 12

Isso mostra que os vetores em U cap W são da forma:
(x, -x, 0, 0) = x cdot (1, -1, 0, 0)
Aqui, x é livre.

Passo 13

Portanto, uma base para U cap W é:
, (1, -1, 0, 0) ,
Como há apenas um vetor na base, a dimensão de U cap W é 1.

Passo 14

Por fim, vamos encontrar a soma de U e W, denotada por U + W . Isso inclui todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W.

Passo 15

Tomando um vetor em U:
(x, -x, z, z)
E um vetor em W:
(a, b, 0, 0)
A soma deles é:
(x + a, -x + b, z + 0, z + 0) = (x + a, -x + b, z, z)

Passo 16

Para encontrar a base de U + W , precisamos ver quantos vetores são necessários para gerar todos esses vetores somados. Observando a expressão acima, podemos reescrever:
(x + a, -x + b, z, z) = a cdot (1, 0, 0, 0) + b cdot (0, 1, 0, 0) + x cdot (1, -1, 0, 0) + z cdot (0, 0, 1, 1)

Passo 17

Notamos que:
  • (1, 0, 0, 0)
  • (0, 1, 0, 0)
  • (1, -1, 0, 0)
  • (0, 0, 1, 1)
Podemos ver que (1, -1, 0, 0) já pode ser obtido a partir de (1, 0, 0, 0) e (0, 1, 0, 0) , então não precisamos dele na base. Portanto, a base de U + W será:
, (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) ,

Resposta

(i) Base de U: , (1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) ,
Dimensão de U: 2
(ii) Base de W: , (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) ,
Dimensão de W: 2
(iii) Base de U cap W : , (1, -1, 0, 0) ,
Dimensão de U cap W : 1
(iv) Base de U + W : , (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) ,
Dimensão de U + W : 3

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