Dados
e
subespaços do espaço vetorial
determine, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de
.
(ii) uma base e a dimensão de
.
(iii) uma base e a dimensão de
.
(iv) uma base e a dimensão de
.
e
(i) uma base e a dimensão de
(ii) uma base e a dimensão de
(iii) uma base e a dimensão de
(iv) uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e querendo encontrar bases e dimensões de certos subespaços dentro de ℝ⁴. Precisamos entender bem o que são bases, dimensões, interseção e soma de subespaços para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o subespaço U:
Isso significa que qualquer vetor em U satisfaz essas duas equações.
Passo 3
Vamos resolver as equações para expressar algumas variáveis em termos de outras:
-
→ -
→
Então, podemos escrever um vetor em U como:
Onde x e z são livres para escolher qualquer valor real.
Passo 4
Agora, vamos escrever essa expressão de vetor em termos de combinações lineares:
Isso mostra que quaisquer vetores em U podem ser formados a partir das combinações dos vetores
e
.
Passo 5
Portanto, uma base para U é:
E como temos dois vetores na base, a dimensão de U é 2.
Passo 6
Agora, vamos para o subespaço W:
Isso significa que qualquer vetor em W tem z = 0 e t = 0.
Passo 7
Então, podemos escrever um vetor em W como:
Aqui, x e y são livres para escolher qualquer valor real.
Passo 8
Escrevendo esse vetor como combinação linear:
Isso mostra que qualquer vetor em W é uma combinação dos vetores
e
.
Passo 9
Portanto, uma base para W é:
E como temos dois vetores na base, a dimensão de W é 2.
Passo 10
Agora, vamos encontrar a interseção de U e W, ou seja,
. Isso inclui todos os vetores que estão em U e em W ao mesmo tempo.
Passo 11
Um vetor está em U se:
E está em W se z = 0 e t = 0.
Então, para estar em
, precisamos que:
Substituindo z = 0 na expressão de U:
Passo 12
Isso mostra que os vetores em
são da forma:
Aqui, x é livre.
Passo 13
Portanto, uma base para
é:
Como há apenas um vetor na base, a dimensão de
é 1.
Passo 14
Por fim, vamos encontrar a soma de U e W, denotada por
. Isso inclui todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W.
Passo 15
Tomando um vetor em U:
E um vetor em W:
A soma deles é:
Passo 16
Para encontrar a base de
, precisamos ver quantos vetores são necessários para gerar todos esses vetores somados. Observando a expressão acima, podemos reescrever:
Passo 17
Notamos que:
Podemos ver que
já pode ser obtido a partir de
e
, então não precisamos dele na base. Portanto, a base de
será:
Resposta
(i) Base de U:
Dimensão de U: 2
Dimensão de U: 2
(ii) Base de W:
Dimensão de W: 2
Dimensão de W: 2
(iii) Base de
:
Dimensão de : 1
Dimensão de
(iv) Base de
:
Dimensão de : 3
Dimensão de