Resolva o sistema linear abaixo, em que são os 3 primeiros digitos do R.A do aluno 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! Aqui a gente tem três equações com três incógnitas: x, y e z. Os valores a, b e c são constantes que você vai substituir depois com os três primeiros dígitos do seu R.A. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas, como o método da substituição ou da eliminação. Vou te mostrar como fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar:
x - y + 2z = a (1) 2x + y - 3z = b (2) - x + 2y + 2z = c (3)
Passo 3
Vamos usar o método da eliminação para diminuir o número de incógnitas. Vamos começar somando as equações (1) e (2) para eliminar o y:
(x - y + 2z) + (2x + y - 3z) = a + b
Isso simplifica para:
3x - z = a + b (4)
Passo 4
Agora, vamos somar as equações (1) e (3) para também eliminar o y:
(x - y + 2z) + (-x + 2y + 2z) = a + c
Isso simplifica para:
y + 4z = a + c (5)
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas (x e z na equação (4), e y e z na equação (5)). Vamos resolver a equação (4) para x:
3x - z = a + b
Isolando x:
3x = a + b + z
x = a + b + z3 (6)
Passo 6
Agora, vamos usar a equação (5) para expressar y em termos de z:
y + 4z = a + c
Isolando y:
y = a + c - 4z (7)
Passo 7
Agora, vamos substituir as expressões de x e y das equações (6) e (7) na equação original (3) para encontrar z:
- ( a + b + z3 ) + 2(a + c - 4z) + 2z = c
Vamos simplificar passo a passo:
Primeiro, distribua o -1 e o 2:
- a + b + z3 + 2a + 2c - 8z + 2z = c
Combine termos semelhantes:
- a + b + z3 + 2a + 2c - 6z = c
Multiplique todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
- (a + b + z) + 6a + 6c - 18z = 3c
Simplifique:
- a - b - z + 6a + 6c - 18z = 3c
Combine os termos:
5a - b + 6c - 19z = 3c
Isolando z:
5a - b + 3c = 19z
z = 5a - b + 3c19
Passo 8
Agora que temos z, podemos encontrar x e y usando as equações (6) e (7):
Para x:
x = a + b + z3 = a + b + ( 5a - b + 3c19 )3
x = 19(a + b) + 5a - b + 3c57
x = 19a + 19b + 5a - b + 3c57
x = 24a + 18b + 3c57 = 8a + 6b + c19
Para y:
y = a + c - 4z = a + c - 4 ( 5a - b + 3c19 )
y = 19(a + c) - 20a + 4b - 12c19
y = 19a + 19c - 20a + 4b - 12c19
y = -a + 4b + 7c19
Resposta
As soluções do sistema são:
boxed x = dfrac8a + 6b + c19 y = dfrac -a + 4b + 7c 19 z = dfrac5a - b + 3c19