Considere uma matriz real
.
(a) Mostre que os vetores
tais que
formam um subespaço vetorial de
.
(b) Agora, para uma dada matriz
, os vetores
tais que
formam um subespaço vetorial de
? Por quê?
(a) Mostre que os vetores
(b) Agora, para uma dada matriz
Passo 1
O enunciado trata de subespaços em álgebra linear. Temos uma matriz real
de dimensão
e queremos analisar dois conjuntos de vetores em
:
- O núcleo de
, isto é, . - O conjunto de soluções de
, onde é um vetor fixo em .
Para ser subespaço vetorial, um conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que o núcleo de
contém o vetor zero e é fechado sob soma.
- Como
, o vetor está no núcleo. - Se
e satisfazem e , então
logo
também pertence ao núcleo.
Passo 3
Mostramos que o núcleo de
é fechado sob multiplicação escalar.
- Seja
tal que e seja . Então
Portanto
está no núcleo.
Como o conjunto contém e é fechado sob soma e escalar, concluímos que
Como o conjunto contém
é um subespaço de
.
Passo 4
Agora consideramos
com
.
- O vetor zero não está nesse conjunto, pois
. Logo falta o vetor zero, condição essencial de subespaço. - Além disso, se
e são soluções de , então
ou seja, não há fechamento sob soma.
Resposta
(a) O conjunto
é subespaço de
.
(b) O conjunto não é subespaço, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob soma nem multiplicação escalar.
(b) O conjunto