Seja V o espaço vetorial das matrizes reais n times n. Dada uma matriz A in V, mostre que o conjunto X ; A X=X A é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as matrizes reais ntimes n e, para uma matriz fixa Ain V, considera o subconjunto
S = Xin V mid A,X = X,A
Vamos mostrar que S é subespaço de V usando a definição: um subconjunto não-vazio é subespaço se for fechado em soma e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que S não é vazio, exibindo a matriz zero 0. De fato,
A,0 = 0 = 0,A,
logo 0in S.

Passo 3

Fechamento em adição. Suponha X,Yin S. Então
A,X = X,A e A,Y = Y,A
Somando essas igualdades,
A,(X+Y) = A,X + A,Y = X,A + Y,A = (X+Y),A,
logo X+Yin S.

Passo 4

Fechamento em multiplicação por escalar. Seja lambdainR e Xin S. Então
A,(lambda X) = lambda,(A,X) = lambda,(X,A) = (lambda X),A,
logo lambda Xin S.

Passo 5

Como S contém 0 e é fechado sob soma e produto por escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de V.

Resposta

O conjunto Xin Vmid A,X=X,A é um subespaço de V.

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