Seja
o espaço vetorial das matrizes reais
. Dada uma matriz
, mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as matrizes reais
e, para uma matriz fixa
, considera o subconjunto
Vamos mostrar que
é subespaço de
usando a definição: um subconjunto não-vazio é subespaço se for fechado em soma e em multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio, exibindo a matriz zero
. De fato,
logo
.
Passo 3
Fechamento em adição. Suponha
. Então
Somando essas igualdades,
logo
.
Passo 4
Fechamento em multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
logo
.
Passo 5
Como
contém
e é fechado sob soma e produto por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
.