Decida quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto
é um subespaço vetorial de .
Para isso precisamos usar o critério de subespaço: mostrar que
é um subespaço vetorial de
Para isso precisamos usar o critério de subespaço: mostrar que
-
, -
, -
e .
Passo 2
Vamos primeiro entender a forma de
. A condição
pode ser fatorada como
o que significa que qualquer
satisfaz ou
Logo
isto é, a união das retas
e
.
Passo 3
Verificamos primeiro o vetor zero:
satisfaz
, logo
.
Passo 4
Agora testamos a clausura sob adição. Se
fosse subespaço, a soma de quaisquer dois vetores em
deveria permanecer em
. Mas escolha
Ambos estão em
, mas
Como
vemos que
. Portanto
não é fechado sob adição.
Passo 5
Bastou falhar na clausura sob adição para concluir que
não é subespaço vetorial (não precisamos nem checar escalares).
Resposta
O conjunto
não é subespaço vetorial de
.