Decida quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^2.
(x, y) in R^2 ; x^2-y^2=0, x, y in R

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
S = (x,y)in R^2 mid x^2 - y^2 = 0
é um subespaço vetorial de R^2.
Para isso precisamos usar o critério de subespaço: mostrar que
  1. 0=(0,0)in S,
  2. u,vin Simplies u+vin S,
  3. uin S e alphainRimplies alpha uin S.

Passo 2

Vamos primeiro entender a forma de S. A condição
x^2 - y^2 = 0
pode ser fatorada como
(x-y)(x+y)=0,
o que significa que qualquer (x,y)in S satisfaz ou
y = x ou y = -x
Logo
S = (x,x)mid xinR;cup;(x,-x)mid xinR,
isto é, a união das retas L1colon y=x e L2colon y=-x.

Passo 3

Verificamos primeiro o vetor zero:
(0,0) satisfaz 0^2 - 0^2 = 0, logo 0in S.

Passo 4

Agora testamos a clausura sob adição. Se S fosse subespaço, a soma de quaisquer dois vetores em S deveria permanecer em S. Mas escolha
u = (1,1)in L1 e v = (1,-1)in L2
Ambos estão em S, mas
u + v = (1+1,;1+(-1)) = (2,0)
Como
2^2 - 0^2 = 4 neq 0,
vemos que (2,0)notin S. Portanto S não é fechado sob adição.

Passo 5

Bastou falhar na clausura sob adição para concluir que S não é subespaço vetorial (não precisamos nem checar escalares).

Resposta

O conjunto (x,y)inR^2 mid x^2 - y^2 = 0 não é subespaço vetorial de R^2.

Exercícios relacionados