Dado um plano passando pelos pontos A, B, C não colineares.
a) Mostre que para qualquer escalar o vetor é um vetor normal a pi (isto é, normal a todo vetor paralelo a pi).
b) Mostre que todos os vetores normais a pi são da forma lambda A B times A C
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um plano pi que passa pelos pontos A, B e C, que não estão todos na mesma linha (não são colineares). A matéria aqui é álgebra vetorial, especificamente sobre vetores normais a um plano. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular produtos vetoriais e como eles podem nos dar vetores perpendiculares a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a). A gente precisa mostrar que para qualquer número lambda, o vetor lambda AB times AC é um vetor normal ao plano pi.
Passo 3
Vamos lembrar que o produto vetorial AB times AC dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores AB e AC. Como AB e AC estão no plano pi, o vetor resultante será perpendicular ao plano.
Passo 4
Agora, multiplicar esse vetor por um escalar lambda não muda a direção dele, apenas a magnitude. Então, lambda AB times AC também será perpendicular ao plano pi.
Passo 5
Portanto, mostramos que qualquer múltiplo escalar de AB times AC é um vetor normal ao plano.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b). Precisamos provar que todo vetor normal ao plano pi pode ser escrito na forma lambda AB times AC.
Passo 7
Suponha que N seja um vetor normal ao plano pi. Como N é normal ao plano, ele deve ser perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano, incluindo AB e AC.
Passo 8
Sabemos que o único vetor (até um escalar) que é perpendicular a ambos AB e AC é o produto vetorial AB times AC. Logo, N deve ser um múltiplo desse vetor, ou seja, N = lambda AB times AC .
Resposta
a) Para qualquer escalar lambda, o vetor lambda AB times AC é normal ao plano pi.
b) Todos os vetores normais ao plano pi são da forma lambda AB times AC , onde lambda é um escalar.