Decida quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^2.
(x, y) in R^2 ; x-y=0, x, y in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = (x,y)inR^2 mid x - y = 0
é um subespaço vetorial de R^2. Para isso vamos usar a definição de subespaço: devemos checar se W contém o vetor zero, se é fechado sob soma de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a W. Como
0 - 0 = 0,
temos (0,0)in W.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam (x1,y1) e (x2,y2) em W. Então
x1 - y1 = 0 e x2 - y2 = 0
Somando coordenada a coordenada,
(x1 + x2) - (y1 + y2) = (x1 - y1) + (x2 - y2) = 0 + 0 = 0,
logo (x1+x2,;y1+y2)in W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja lambdainR e (x,y)in W com x - y = 0. Então
(lambda x) - (lambda y) = lambda,(x - y) = lambdacdot 0 = 0,
logo (lambda x,;lambda y)in W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de R^2.

Resposta

O conjunto (x,y)inR^2mid x-y=0 é um subespaço vetorial de R^2.

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