Considere uma matriz real simétrica
de ordem 3 com determinante igual a 6. Suponha que
e
sejam autovetores desta matriz associados aos autovalores 1 e 2, respectivamente. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a Os autovalores de
são apenas 1 e 2 .
b O produto vetorial
é autovetor de
.
c
vetor
é autovetor de
.
d A pode não ser diagonalizável.
a Os autovalores de
b O produto vetorial
c
d A pode não ser diagonalizável.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz real simétrica 3×3 com det(A)=6 e que u=(4,8,−1) e v=(1,0,4) são autovetores associados aos autovalores 1 e 2. Vamos usar teoria de autovalores (produto deles é o determinante) e propriedades de matrizes simétricas (ortogonalidade de autovetores distintos e diagonalização) para decidir Verdadeiro ou Falso.
Passo 2
Para a afirmação (a): como A é 3×3, tem três autovalores λ₁,λ₂,λ₃ e
Sabemos que λ₁=1 e λ₂=2, então
Logo existem também 3 como autovalor, não só 1 e 2. Assim, (a) é Falso.
Passo 3
Para a afirmação (b): em matrizes simétricas, autovetores de autovalores distintos são ortogonais. Calculamos
logo u⊥v. Então u×v é paralelo ao terceiro autovetor (associado a λ₃=3) e é, portanto, autovetor de A. Desta forma, (b) é Verdadeiro.
Passo 4
Para a afirmação ©: um vetor é autovetor exatamente se for colinear com algum autovetor conhecido (u, v ou u×v). Calculamos u×v=(32,−17,−8) e vemos que (5,8,3) não é múltiplo nem de u, nem de v, nem de (32,−17,−8). Logo (5,8,3) não é autovetor de A, e © é Falso.
Passo 5
Para a afirmação (d): toda matriz real simétrica é diagonalizável ortogonalmente (Teorema espectral). Logo A não pode deixar de ser diagonalizável. Assim, (d) é Falso.
Resposta
a) Falso
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Falso
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Falso