Fixemos um vetor não nulo
e defina a aplicação
(produto vetorial).
a Prove que
é uma transformação linear.
b Determine os autovalores e autovetores de
.
a Prove que
b Determine os autovalores e autovetores de
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a aplicação linear definida por fixarmos um vetor não nulo
e definirmos
por
. Vamos precisar dos conceitos de transformação linear, bilinearidade do produto vetorial, e definição de autovalor e autovetor.
Passo 2
Para provar que
é linear, lembramos que basta mostrar duas propriedades: para todo
e
,
(mostrando aditividade) e
(mostrando homogeneidade). Essas igualdades vêm diretamente da bilinearidade do produto vetorial. Logo,
e
, ou seja,
é linear.
Passo 3
Para encontrar autovalores e autovetores, escrevemos a equação de autovalor:
Note que
logo
. Se
não for paralelo a
, então
é perpendicular a
e não pode ser colinear, não existindo autovalor real.
Passo 4
Concluímos que o único autovalor real de
é
e o espaço próprio associado é exatamente o conjunto dos vetores paralelos a
, ou seja,
Resposta
O operador
é linear e, sobre
, tem como único autovalor real
, com o espaço próprio gerado pelo vetor
.