Fixemos um vetor não nulo a in R^3 e defina a aplicação T: R^3 R^3 por T(v)=a times v (produto vetorial).
a Prove que T é uma transformação linear.
b Determine os autovalores e autovetores de T.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a aplicação linear definida por fixarmos um vetor não nulo ainR^3 e definirmos T:R^3toR^3 por T(v)=atimes v. Vamos precisar dos conceitos de transformação linear, bilinearidade do produto vetorial, e definição de autovalor e autovetor.

Passo 2

Para provar que T é linear, lembramos que basta mostrar duas propriedades: para todo u,vinR^3 e cinR,
atimes(u+v)=atimes u + atimes v
(mostrando aditividade) e
atimes(c,v)=c,(atimes v)
(mostrando homogeneidade). Essas igualdades vêm diretamente da bilinearidade do produto vetorial. Logo, T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,v)=c,T(v), ou seja, T é linear.

Passo 3

Para encontrar autovalores e autovetores, escrevemos a equação de autovalor:
atimes v = lambda,v
Note que atimes v é sempre perpendicular a a e a v. Para que seja paralelo a v, só há duas possibilidades reais: ou atimes v=0 ou não existe solução não-nula. O caso atimes v=0 implica que v é colinear a a, digamos v=t,a. Substituindo na equação, vem
atimes(t,a)=t,(atimes a)=0=lambda,(t,a),
logo lambda=0. Se v não for paralelo a a, então atimes v é perpendicular a v e não pode ser colinear, não existindo autovalor real.

Passo 4

Concluímos que o único autovalor real de T é lambda=0 e o espaço próprio associado é exatamente o conjunto dos vetores paralelos a a, ou seja,
E0=vinR^3: v=t,a, tinR

Resposta

O operador T(v)=atimes v é linear e, sobre R^3, tem como único autovalor real lambda=0, com o espaço próprio gerado pelo vetor a.

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