Prove que se T: V V é um operador linear, então ker T, Im(T) são subespaços T-invariantes. Se lambda for um autovalor de T então AutT(lambda) é um subespaço T-invariante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um operador linear T:Vto V, os conjuntos ker T, Im T e, no caso de existir um autovalor lambda, o autespaço são subespaços de AutT(lambda) e ainda são invariantes por V. Vamos usar as definições de subespaço, núcleo, imagem, autespaço e de subespaço T-invariante.

Passo 2

Primeiro, prove que ker T é subespaço de V e que Tl(ker Tr)subseteqker T. \1) 0inker T porque T(0)=0. \2) Se u,vinker T, então T(u+v)=T(u)+T(v)=0+0=0, logo u+vinker T. \3) Para alphainBbb K e vinker T, T(alpha v)=alpha T(v)=alphacdot0=0, então alpha vinker T. Assim ker T é subespaço.\Para invariância, tome vinker T. Então T(v)=0, e portanto Tl(T(v)r)=T(0)=0, isto é, T(v)inker T.

Passo 3

Mostre que Im T é subespaço de V e que Tl(Im Tr)subseteqIm T. \1) Como T é linear, para quaisquer u,vin V e alpha,betainBbb K, temos
T(alpha u+beta v)=alpha T(u)+beta T(v),
e isso garante que Im T é fechado sob soma e multiplicação escalar. Além disso, 0=T(0)inIm T. Logo Im T é subespaço.\Para invariância, seja winIm T. Então existe vin V com w=T(v). Logo
T(w)=Tl(T(v)r)=T^2(v)
evidentemente pertence a Im T.

Passo 4

Defina o autespaço de lambda como
Mostre que é subespaço: \1) AutT(lambda)=vin V:T(v)=lambda v , logo . \2) Se T(0)=0=lambdacdot0 satisfazem 0inAutT(lambda) e u,v, então
T(u)=lambda u
portanto . \3) Para T(v)=lambda v,
T(u+v)=T(u)+T(v)=lambda u+lambda v=lambda(u+v),
portanto . Assim é subespaço.\Para invariância, seja . Então u+vinAutT(lambda), e portanto
alphainBbb K
o que implica que T(alpha v)=alpha T(v)=alphalambda v=lambda(alpha v), pertence novamente ao autespaço, isto é, .

Resposta

As três partes mostram que ker T, Im T e são subespaços de AutT(lambda) e que satisfazem
Logo todos são subespaços V-invariantes.

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