Prove que se
é um operador linear, então ker
são subespaços
-invariantes. Se
for um autovalor de
então
é um subespaço
-invariante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um operador linear
, os conjuntos
,
e, no caso de existir um autovalor
, o autespaço são subespaços de
e ainda são invariantes por
. Vamos usar as definições de subespaço, núcleo, imagem, autespaço e de subespaço
-invariante.
Passo 2
Primeiro, prove que
é subespaço de
e que
. \1)
porque
. \2) Se
, então
, logo
. \3) Para
e
,
, então
. Assim
é subespaço.\Para invariância, tome
. Então
, e portanto
, isto é,
.
Passo 3
Mostre que
é subespaço de
e que
. \1) Como
é linear, para quaisquer
e
, temos
e isso garante que
é fechado sob soma e multiplicação escalar. Além disso,
. Logo
é subespaço.\Para invariância, seja
. Então existe
com
. Logo
evidentemente pertence a
.
Passo 4
Defina o autespaço de
como
Mostre que é subespaço: \1)
, logo . \2) Se
satisfazem
e
, então
portanto . \3) Para
,
portanto . Assim é subespaço.\Para invariância, seja . Então
, e portanto
o que implica que
pertence novamente ao autespaço, isto é, .
Resposta
As três partes mostram que
,
e são subespaços de
e que satisfazem
Logo todos são subespaços
-invariantes.