Mostrar que o conjunto
de vetores de
é L.D.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto {1, sen²x, cos²x} em C([−π,π]) é linearmente dependente. O conteúdo aqui é Dependência Linear em espaços de funções, e vamos precisar usar a identidade trigonométrica fundamental para construir uma combinação linear não trivial.
Passo 2
Vamos relembrar a definição de Dependência Linear: num espaço vetorial, um conjunto de vetores é L.D. se existe uma combinação linear não trivial que resulte no vetor zero. Ou seja, precisamos encontrar escalares c₁, c₂, c₃, não todos nulos, tais que para todo x em [−π,π] valha
Passo 3
A identidade trigonométrica fundamental diz que para todo x vale:
Podemos rearranjar isso como
Passo 4
Observe que isso já é uma combinação linear dos nossos vetores: basta escolher c₁ = -1, c₂ = 1 e c₃ = 1, pois então para todo x se tem:
Passo 5
Como encontramos escalares não todos zero que anulam a combinação linear dos vetores, concluímos que o conjunto {1, sen²x, cos²x} é linearmente dependente em C([−π,π]).
Resposta
O conjunto é linearmente dependente, pois existe a combinação não trivial
para todo x em [−π,π].