Mostrar que o conjunto C([-pi, pi]) de vetores de é L.D.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto {1, sen²x, cos²x} em C([−π,π]) é linearmente dependente. O conteúdo aqui é Dependência Linear em espaços de funções, e vamos precisar usar a identidade trigonométrica fundamental para construir uma combinação linear não trivial.

Passo 2

Vamos relembrar a definição de Dependência Linear: num espaço vetorial, um conjunto de vetores é L.D. se existe uma combinação linear não trivial que resulte no vetor zero. Ou seja, precisamos encontrar escalares c₁, c₂, c₃, não todos nulos, tais que para todo x em [−π,π] valha
c₁·1 + c₂·sin²x + c₃·cos²x = 0²²

Passo 3

A identidade trigonométrica fundamental diz que para todo x vale:
sin²x + cos²x = 1²²
Podemos rearranjar isso como
sin²x + cos²x - 1 = 0²²

Passo 4

Observe que isso já é uma combinação linear dos nossos vetores: basta escolher c₁ = -1, c₂ = 1 e c₃ = 1, pois então para todo x se tem:
-1·1 + 1·sin²x + 1·cos²x = sin²x + cos²x - 1 = 0²²²²

Passo 5

Como encontramos escalares não todos zero que anulam a combinação linear dos vetores, concluímos que o conjunto {1, sen²x, cos²x} é linearmente dependente em C([−π,π]).

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois existe a combinação não trivial sin²x + cos²x - 1 = 0²² para todo x em [−π,π].

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