Seja m in R e A a matriz dada por
A=(ccc 1+m & 1+m & 1 -m & -m & -1 m & m-1 & 0 )
a Encontre os autovalores de A.
b Para que valores de m a matriz A é diagonalizável?
c Determine, de acordo com os diferentes valores de m, o polinômio minimal de A.

Passo 1

Temos a matriz A = 1 + m & 1 + m & 1 -m & -m & -1 m & m - 1 & 0 , m in R Vamos encontrar (i) os autovalores de A, (ii) para quais m A é diagonalizável e (iii) o polinômio minimal de A. Para isso usaremos o polinômio característico, estudaremos as multiplicidades algébrica e geométrica e, por fim, construiremos o polinômio minimal.

Passo 2

Subtraindo lambda I de A obtemos
A - lambda I = 1 + m - lambda & 1 + m & 1 -m & -m - lambda & -1 m & m - 1 & -lambda
Fazendo a expansão de det(A - lambda I) pela primeira linha e simplificando, chegamos ao polinômio característico
p(lambda) = -lambda^3 + lambda^2 + lambda - 1

Passo 3

Para fatorar, multiplicamos por -1 e organizamos:
lambda^3 - lambda^2 - lambda + 1 = (lambda^2 - 1)(lambda - 1) = (lambda - 1)^2(lambda + 1)
Assim os autovalores são
lambda = 1 (multiplicidade algébrica 2) e
lambda = -1 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 4

Para estudar a diagonalização, analisamos a multiplicidade geométrica de lambda = 1. Calculamos
A - I = m & m + 1 & 1 -m & -m - 1 & -1 m & m - 1 & -1
Note que a segunda linha é sempre o negativo da primeira, e a terceira é independente da primeira exceto quando m = 0. Logo
  • Se m neq 0, o posto é 2 ⇒ dimensão do núcleo é 3 - 2 = 1 ⇒ multiplicidade geométrica de 1 é 1.
  • Se m = 0, as três linhas colapsam a uma só ⇒ posto 1 ⇒ núcleo de dimensão 3 - 1 = 2 ⇒ multiplicidade geométrica de 1 é 2.

Passo 5

A matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica iguala a algébrica. Aqui:
  • Para lambda = -1, sempre há um vetor próprio (geométrica = 1 = algébrica).
  • Para lambda = 1, geométrica = 2 só quando m = 0; caso contrário é 1 < 2.
Logo A é diagonalizável somente se m = 0.

Passo 6

O polinômio minimal mu(t) deve conter cada fator linear para anular A com a menor potência possível:
  • Se m = 0, A é diagonalizável ⇒ não há fatores repetidos ⇒
    mu(t) = (t - 1)(t + 1)
  • Se m neq 0, A não é diagonalizável em lambda = 1 ⇒ precisamos de (t - 1)^2 e de (t + 1)
    mu(t) = (t - 1)^2(t + 1)

Resposta

Autovalores: lambda=1 (mult. alg. 2) e lambda=-1 (mult. alg. 1). A é diagonalizável somente para m=0. O polinômio minimal é
para m=0: mu(t)=(t-1)(t+1);
para mneq0: mu(t)=(t-1)^2(t+1).

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