Reduzir a forma escalonada e a forma escalonada reduzida por linhas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos transformar uma matriz dada em duas formas especiais: a forma escalonada e a forma escalonada reduzida por linhas. Para isso, vamos usar operações de linha, que são basicamente somar ou multiplicar linhas para simplificar a matriz e chegar nessas formas mais organizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que nos foi dada:
Nosso objetivo é deixar essa matriz organizada para facilitar a resolução de sistemas lineares, se necessário.
Passo 3
Começamos pelo primeiro elemento da primeira coluna, que é o 2. Esse será nosso pivô. Queremos que todos os elementos abaixo dele sejam zero. Para isso, vamos usar operações de linha.
Passo 4
Vamos zerar o elemento abaixo do pivô (3 na segunda linha). Para isso, multiplicamos a primeira linha por 32 e subtraímos da segunda linha:
Observamos que a quarta linha é igual à segunda. Podemos simplificar removendo a quarta linha ou deixando-a como está, já que ela não traz informação nova. Vamos seguir adiante para a próxima coluna.
Passo 8
Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. O pivô aqui é -112 na segunda linha. Queremos deixar os elementos abaixo dele como zero. Na terceira linha, temos -11, que já é múltiplo de -112. Vamos zerar multiplicando a segunda linha por 2 e somando com a terceira linha:
Até aqui, chegamos na forma escalonada. Agora, vamos transformar isso na forma escalonada reduzida. Primeiro, normalizamos o segundo pivô dividindo a segunda linha por 11:
Agora, queremos zerar o elemento acima do pivô na segunda coluna (o 3 na primeira linha). Fazemos isso multiplicando a segunda linha por 3 e subtraindo da primeira linha: