Considere a matriz
A=(ccccc 2 & 3 & -2 & 5 & 1 3 & -1 & 2 & 0 & 4 4 & -5 & 6 & -5 & 7 5 & 2 & 0 & 5 & 5 )
Reduzir a forma escalonada e a forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos transformar uma matriz dada em duas formas especiais: a forma escalonada e a forma escalonada reduzida por linhas. Para isso, vamos usar operações de linha, que são basicamente somar ou multiplicar linhas para simplificar a matriz e chegar nessas formas mais organizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que nos foi dada:
A= 2 & 3 & -2 & 5 & 1 3 & -1 & 2 & 0 & 4 4 & -5 & 6 & -5 & 7 5 & 2 & 0 & 5 & 5
Nosso objetivo é deixar essa matriz organizada para facilitar a resolução de sistemas lineares, se necessário.

Passo 3

Começamos pelo primeiro elemento da primeira coluna, que é o 2. Esse será nosso pivô. Queremos que todos os elementos abaixo dele sejam zero. Para isso, vamos usar operações de linha.

Passo 4

Vamos zerar o elemento abaixo do pivô (3 na segunda linha). Para isso, multiplicamos a primeira linha por 32 e subtraímos da segunda linha:
L2 = L2 - 32L1
Calculando:
3 - 32(2) = 0 -1 - 32(3) = -1 - 92 = -112 2 - 32(-2) = 2 + 3 = 5 0 - 32(5) = 0 - 152 = -152 4 - 32(1) = 4 - 32 = 52
A matriz fica:
2 & 3 & -2 & 5 & 1 0 & -112 & 5 & -152 & 52 4 & -5 & 6 & -5 & 7 5 & 2 & 0 & 5 & 5

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento na terceira linha da primeira coluna (4). Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da terceira linha:
L3 = L3 - 2L1
Calculando:
4 - 2(2) = 0 -5 - 2(3) = -5 - 6 = -11 6 - 2(-2) = 6 + 4 = 10 -5 - 2(5) = -5 - 10 = -15 7 - 2(1) = 7 - 2 = 5
Matriz atualizada:
2 & 3 & -2 & 5 & 1 0 & -112 & 5 & -152 & 52 0 & -11 & 10 & -15 & 5 5 & 2 & 0 & 5 & 5

Passo 6

Vamos zerar o elemento na quarta linha da primeira coluna (5). Multiplicamos a primeira linha por 52 e subtraímos da quarta linha:
L4 = L4 - 52L1
Calculando:
5 - 52(2) = 5 - 5 = 0 2 - 52(3) = 2 - 152 = -112 0 - 52(-2) = 0 + 5 = 5 5 - 52(5) = 5 - 252 = -152 5 - 52(1) = 5 - 52 = 52
Matriz agora:
2 & 3 & -2 & 5 & 1 0 & -112 & 5 & -152 & 52 0 & -11 & 10 & -15 & 5 0 & -112 & 5 & -152 & 52

Passo 7

Observamos que a quarta linha é igual à segunda. Podemos simplificar removendo a quarta linha ou deixando-a como está, já que ela não traz informação nova. Vamos seguir adiante para a próxima coluna.

Passo 8

Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. O pivô aqui é -112 na segunda linha. Queremos deixar os elementos abaixo dele como zero. Na terceira linha, temos -11, que já é múltiplo de -112. Vamos zerar multiplicando a segunda linha por 2 e somando com a terceira linha:
L3 = L3 + 2L2
Calculando:
0 + 0 = 0 -11 + 2(-112) = -11 -11 = -22 (Mas queremos zero, então vamos ajustar) 10 + 2(5) = 10 + 10 = 20 -15 + 2(-152) = -15 -15 = -30 5 + 2(52) = 5 + 5 = 10 ã
Ops, parece que houve um erro. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 9

Vamos simplificar a segunda e a quarta linha multiplicando por -2 para facilitar:
L2 = -2L2 L4 = -2L4
Isso resulta em:
2 & 3 & -2 & 5 & 1 0 & 11 & -10 & 15 & -5 0 & -11 & 10 & -15 & 5 0 & 11 & -10 & 15 & -5

Passo 10

Agora, somamos a segunda e a terceira linha para zerar o elemento na terceira linha:
L3 = L3 + L2
Calculando:
0 + 0 = 0 -11 + 11 = 0 10 + (-10) = 0 -15 + 15 = 0 5 + (-5) = 0
A terceira linha torna-se toda zero:
2 & 3 & -2 & 5 & 1 0 & 11 & -10 & 15 & -5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 11 & -10 & 15 & -5

Passo 11

Vamos zerar a quarta linha usando a segunda linha. Subtraímos a segunda linha da quarta:
L4 = L4 - L2
Calculando:
0 - 0 = 0 11 - 11 = 0 -10 - (-10) = 0 15 - 15 = 0 -5 - (-5) = 0
A quarta linha também fica toda zero. Agora temos:
2 & 3 & -2 & 5 & 1 0 & 11 & -10 & 15 & -5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 12

Até aqui, chegamos na forma escalonada. Agora, vamos transformar isso na forma escalonada reduzida. Primeiro, normalizamos o segundo pivô dividindo a segunda linha por 11:
L2 = 111L2
Resultando em:
2 & 3 & -2 & 5 & 1 0 & 1 & -1011 & 1511 & -511 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 13

Agora, queremos zerar o elemento acima do pivô na segunda coluna (o 3 na primeira linha). Fazemos isso multiplicando a segunda linha por 3 e subtraindo da primeira linha:
L1 = L1 - 3L2
Calculando:
2 - 3(0) = 2 3 - 3(1) = 0 -2 - 3(-1011) = -2 + 3011 = -22 + 3011 = 811 5 - 3(1511) = 5 - 4511 = 55 - 4511 = 1011 1 - 3(-511) = 1 + 1511 = 11 + 1511 = 2611
A matriz fica:
2 & 0 & 811 & 1011 & 2611 0 & 1 & -1011 & 1511 & -511 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 14

Por fim, queremos que o pivô da primeira coluna seja 1. Dividimos a primeira linha por 2:
L1 = 12L1
Isso resulta em:
1 & 0 & 411 & 511 & 1311 0 & 1 & -1011 & 1511 & -511 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida.

Resposta

Forma Escalonada:
2 & 3 & -2 & 5 & 1 0 & 11 & -10 & 15 & -5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Forma Escalonada Reduzida:
1 & 0 & 411 & 511 & 1311 0 & 1 & -1011 & 1511 & -511 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

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