Sejam B=e1, e2, e3 uma base de V^3, e f1=e1-e2, f2=m e1+e3, f3=-e1-e2-e3.
Nas condições do item (a), calcule a e b de modo que os vetores u=(1,1,1)B e v=(2, a, b)B^prime sejam L.D…

Passo 1

O enunciado dá duas bases de V^3:
B=vec e1,vec e2,vec e3 (canônica).
B'=vec f1,vec f2,vec f3 com
vec f1=vec e1-vec e2, vec f2=mvec e1+vec e3, vec f3=-vec e1-vec e2-vec e3
No item (a) determinou-se que B' é base se, e somente se,
detl[vec f1,vec f2,vec f3r]=2-mneq0 Longrightarrow mneq2
Agora, sob essa condição ( mneq2), queremos achar a e b tal que
vec u=(1,1,1)B e vec v=(2,a,b)B' sejam L.D.

Passo 2

Escrevemos primeiro vec u e vec v em coordenadas na base B.
– Por definição,
vec u=(1,1,1)B Longrightarrow vec u=vec e1+vec e2+vec e3
– Para vec v, usamos vec v=2vec f1+avec f2+bvec f3. Substituindo em termos de vec ei:
vec v =2(vec e1-vec e2) +a(mvec e1+vec e3) +b(-vec e1-vec e2-vec e3)
Agrupando coeficientes em vec e1,vec e2,vec e3:
vec v =(2 + a,m - b),vec e1 +(-2 - b),vec e2 +(a - b),vec e3
Logo, em B temos
vec v=(,2+a m -b,;-2-b,;a-b,)B

Passo 3

Duas colunas em R^3 são L.D. se, e só se, uma for múltiplo escalar da outra.
Portanto existe lambda tal que
(2 + a m - b,;-2 - b,;a - b) =lambda,(1,1,1)
Isso gera o sistema
2 + a m - b = lambda, -2 - b = lambda, a - b = lambda

Passo 4

Igualando a segunda e terceira equações:
-2 - b = a - b Longrightarrow a=-2
Substituindo a=-2 na primeira e igualando com lambda=-2-b:
2 + (a m) - b = -2 - b Longrightarrow 2 + (-2)m = -2 Longrightarrow -2m = -4 Longrightarrow m=2
Mas isso contradiz a condição do item (a), que exige mneq2.

Resposta

Não existem valores reais de a e b que tornem vec u e vec v linearmente dependentes sob a condição mneq2.

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