Sejam
uma base de
V^3 , e
f1=e1-e2, f2=m e1+e3, f3=-e1-e2-e3 .
Nas condições do item (a), calcule
a e
b de modo que os vetores
u=(1,1,1)B e
v=(2, a, b)B^prime sejam L.D…
Nas condições do item (a), calcule
Passo 1
O enunciado dá duas bases de
V^3 :
–B=vec e1,vec e2,vec e3 (canônica).
–B'=vec f1,vec f2,vec f3 com
–
–
No item (a) determinou-se que
B' é base se, e somente se,
Agora, sob essa condição (
mneq2 ), queremos achar
a e
b tal que
vec u=(1,1,1)B e
vec v=(2,a,b)B' sejam L.D.
Passo 2
Escrevemos primeiro
vec u e
vec v em coordenadas na base
B .
– Por definição,
– Por definição,
– Para
vec v , usamos
vec v=2vec f1+avec f2+bvec f3 . Substituindo em termos de
vec ei :
Agrupando coeficientes em
vec e1,vec e2,vec e3 :
Logo, em
B temos
Passo 3
Duas colunas em
R^3 são L.D. se, e só se, uma for múltiplo escalar da outra.
Portanto existelambda tal que
Portanto existe
Isso gera o sistema
Passo 4
Igualando a segunda e terceira equações:
Substituindo
a=-2 na primeira e igualando com
lambda=-2-b :
Mas isso contradiz a condição do item (a), que exige
mneq2 .
Resposta
Não existem valores reais de
a e
b que tornem
vec u e
vec v linearmente dependentes sob a condição
mneq2 .