Dados e v2=(2,6,4):
Seja v3 um terceiro vetor do R^3. Quais as condições sobre v3 para que v1, v2, v3 seja uma base de R^3?
Passo 1
O enunciado pede para achar as condições que um vetor v3=(x3,y3,z3) deve satisfazer para que o conjunto v1,v2,v3 seja base de R^3.
Conteúdo: para ser base em R^3 os três vetores devem ser linearmente independentes, o que equivale a exigir que o determinante formado por eles seja não-zero.
Passo 2
Recordando que três vetores em R^3 são linearmente independentes se, e somente se, o produto misto (ou escalar triplo) for diferente de zero. Se colocarmos v1,v2,v3 como colunas de uma matriz 3times3, então
detl[v1,v2,v3r] ;=; l(v1timesv2r)cdotv3 ;neq;0
Passo 3
Vamos então calcular o vetor normal ao plano gerado por v1 e v2 usando o produto vetorial.
Temos v1=(2,1,3) e v2=(2,6,4), então
v1timesv2 = i & j & k 2 & 1 & 3 2 & 6 & 4 =l(1cdot4-3cdot6,,-,(2cdot4-3cdot2),,2cdot6-1cdot2r) =(-14,,-2,,10)
Passo 4
Para garantir independência, precisamos que o produto escalar do normal v1timesv2 com v3=(x3,y3,z3) seja diferente de zero: