Dados v1=(2,1,3) e v2=(2,6,4):
Seja v3 um terceiro vetor do R^3. Quais as condições sobre v3 para que v1, v2, v3 seja uma base de R^3?

Passo 1

O enunciado pede para achar as condições que um vetor v3=(x3,y3,z3) deve satisfazer para que o conjunto
v1,v2,v3 seja base de R^3.
Conteúdo: para ser base em R^3 os três vetores devem ser linearmente independentes, o que equivale a exigir que o determinante formado por eles seja não-zero.

Passo 2

Recordando que três vetores em R^3 são linearmente independentes se, e somente se, o produto misto (ou escalar triplo) for diferente de zero. Se colocarmos v1,v2,v3 como colunas de uma matriz 3times3, então
detl[v1,v2,v3r] ;=; l(v1timesv2r)cdotv3 ;neq;0

Passo 3

Vamos então calcular o vetor normal ao plano gerado por v1 e v2 usando o produto vetorial.
Temos v1=(2,1,3) e v2=(2,6,4), então
v1timesv2 = i & j & k 2 & 1 & 3 2 & 6 & 4 =l(1cdot4-3cdot6,,-,(2cdot4-3cdot2),,2cdot6-1cdot2r) =(-14,,-2,,10)

Passo 4

Para garantir independência, precisamos que o produto escalar do normal v1timesv2 com v3=(x3,y3,z3) seja diferente de zero:
(-14,-2,10)cdot(x3,y3,z3) =-14x3-2y3+10z3 ;neq;0

Passo 5

Podemos simplificar o sinal e fatorar:
-14x3-2y3+10z3neq0 Long<=ftrightarrow 14x3+2y3-10z3neq0 Long<=ftrightarrow 7x3+y3-5z3neq0

Resposta

O conjunto v1,v2,v3 é base de R^3 se, e somente se,
7x3+y3-5z3;neq;0

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