Considere a matriz
que representa um operador linear
T: R^3 R^3 .
Seja
A a matriz cujas colunas são três autovetores distintos de
T . Utilize operações elementares sobre as linhas de
A para encontrar a matriz
P , isto é, determine a inversa de
A(P=A^-1) usando operações elementares.
Seja
Passo 1
O enunciado dá a matriz de representação
de um operador linear
T:R^3toR^3 .
Precisamos achar três autovetores linearmente independentes deT , colocá-los como colunas de
Precisamos achar três autovetores linearmente independentes de
e então usar operações elementares sobre as linhas de
A para obter
P=A^-1 .
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
Fatorando,
lambda^3-3lambda-2=(lambda+1)^2(lambda-2) .
Logo, os autovalores sãolambda1=2 (simples) e
lambda2=lambda3=-1 (duplo).
Logo, os autovalores são
Passo 3
Para
lambda=2 , resolvemos
Da redução obtemos a relação
y=-tfrac76x e
z=tfrac13x .
Escolhendox=6 , vem um autovetor
Escolhendo
Passo 4
Para
lambda=-1 , resolvemos
Duas escolhas independentes são
Passo 5
Formamos
e escrevemos a conjuntura aumentada
l(Amid Ir) .
Aplicando as operações de linha
Aplicando as operações de linha
-
R1rightarrow R2 -
R2 R2+R1 -
R2 -,R2 -
R3 R3-R2 -
R2 R2-R3 -
R1 R1+7,R3
ficamos com , ondel(Imid Pr)