Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc17 & 18 & 18 -21 & -22 & -21 6 & 6 & 5] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Seja A a matriz cujas colunas são três autovetores distintos de T. Utilize operações elementares sobre as linhas de A para encontrar a matriz P, isto é, determine a inversa de A(P=A^-1) usando operações elementares.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de representação
[T]beta^beta = 17 & 18 & 18 -21 & -22 & -21 6 & 6 & 5
de um operador linear T:R^3toR^3.
Precisamos achar três autovetores linearmente independentes de T, colocá-los como colunas de
A
e então usar operações elementares sobre as linhas de A para obter P=A^-1.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
detl([T]beta^beta-lambda Ir) =lambda^3-3lambda-2=0
Fatorando, lambda^3-3lambda-2=(lambda+1)^2(lambda-2).
Logo, os autovalores são lambda1=2 (simples) e lambda2=lambda3=-1 (duplo).

Passo 3

Para lambda=2, resolvemos
l([T]beta^beta-2Ir)x=0 ;Longrightarrow; 15 & 18 & 18 -21 & -24 & -21 6 & 6 & 3 !x=0
Da redução obtemos a relação y=-tfrac76x e z=tfrac13x.
Escolhendo x=6, vem um autovetor
v^(2)=(6,,-7,,2)

Passo 4

Para lambda=-1, resolvemos
l([T]beta^beta+Ir)x=0 ;Longrightarrow; 18 & 18 & 18 -21 & -21 & -21 6 & 6 & 6 !x=0 ;Longrightarrow; x+y+z=0
Duas escolhas independentes são
v^(-1)1 =(-1,1,0), v^(-1)2 =(-1,0,1)

Passo 5

Formamos
A=l[v^(-1)1;;v^(-1)2;;v^(2)r] = -1 & -1 & 6 1 & 0 & -7 0 & 1 & 2
e escrevemos a conjuntura aumentada l(Amid Ir).
Aplicando as operações de linha
  1. R1rightarrow R2
  2. R2 R2+R1
  3. R2 -,R2
  4. R3 R3-R2
  5. R2 R2-R3
  6. R1 R1+7,R3
    ficamos com l(Imid Pr), onde
P=A^-1 = 7 & 8 & 7 -2 & -2 & -1 1 & 1 & 1

Resposta

P = A^-1 = 7 & 8 & 7 -2 & -2 & -1 1 & 1 & 1

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