Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc17 & 18 & 18 -21 & -22 & -21 6 & 6 & 5] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Verifique que D=A T A^-1 é uma matriz diagonal. Utilize essa decomposição para calcular T^4.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T na base beta,
[T]beta^beta = 17 & 18 & 18 -21 & -22 & -21 6 & 6 & 5 ,
e pede para mostrar que existe A tal que
D = A,T,A^-1
é diagonal. O conteúdo aqui é diagonalização de operador linear: primeiro achamos os autovalores de T, depois uma base de autovetores, construímos A com colunas esses autovetores e obtemos
D = diag(lambda1,lambda2,lambda3)
Em seguida usamos T^4 = A,D^4,A^-1.

Passo 2

Calcule o polinômio característico de T:
chiT(lambda) =detl([T]beta^beta-lambda Ir) =det 17-lambda & 18 & 18 -21 & -22-lambda & -21 6 & 6 & 5-lambda
Fazendo as contas, obtém-se
chiT(lambda) =-lambda^3+3lambda+2 Longrightarrow lambda^3-3lambda-2=0
Testando raízes inteiras, lambda=2 anula, e o quociente é (lambda+1)^2. Logo os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2 = lambda3 = -1

Passo 3

Encontre bases de autovetores.
Para lambda=2, resolvemos (T-2I)x=0, isto é
15 & 18 & 18 -21 & -24 & -21 6 & 6 & 3 x=0 ;Longrightarrow; x1 : x2 : x3 = 6 : (-7) : 2
Um autovetor é v1=(6,-7,2).
Para lambda=-1, resolvemos (T+I)x=0, o que dá a condição única
x1 + x2 + x3 = 0
Duas escolhas independentes são
v2 = (1,-1,0), v3 = (1,0,-1)

Passo 4

Monte A com colunas os autovetores e D=diag(2,-1,-1). Então
T^4 = A,D^4,A^-1 = A,diag(2^4,(-1)^4,(-1)^4),A^-1 = A,diag(16,1,1),A^-1
Observando que diag(16,1,1)=I+15,E11, nota-se também que o polinômio minimal de T é
m(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)=lambda^2-lambda-2,
logo T^2-T-2I=0. Assim
T^4 = (T^2)^2 = (T+2I)^2 = T^2 +4T+4I = (T+2I)+4T+4I = 5T+6I

Resposta

T^4 = 5,T + 6,I
Em particular, na base beta
T^4 = 5,[T]beta^beta +6,I = 91 & 90 & 90 -105 & -104 & -105 30 & 30 & 31

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