Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc5 & 12 & 30 -5 & -15 & -41 1 & 4 & 12] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Seja A a matriz cujas colunas são três autovetores distintos de T. Utilize operações elementares sobre as linhas de A para encontrar a matriz P, isto é, determine a inversa de A usando operações elementares.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
[T]beta^beta = 5 & 12 & 30 -5 & -15 & -41 1 & 4 & 12
que representa um operador T: R^3to R^3. Queremos escolher três autovetores independentes de T como colunas de uma matriz A e, usando operações elementares sobre as linhas de A, encontrar a inversa P=A^-1. Para isso, vamos precisar de conceitos de polinômio característico, cálculo de autovalores e autovetores, e eliminação de Gauss para inverter a matriz.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de [T]:
detl([T]-lambda Ir) = lambda^3-2lambda^2-lambda+2
Suas raízes são lambda=1,2,-1. Logo, são esses os autovalores de T.

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor não-nulo:
  1. lambda=1: resolvendo (T-I)v=0 obtemos v1=(6,,-7,,2)^T
  2. lambda=2: resolvendo (T-2I)v=0 obtemos v2=(2,,-3,,1)^T
  3. lambda=-1: resolvendo (T+I)v=0 obtemos v3=(3,,-4,,1)^T
Montamos então
A= 6 & 2 & 3 -7 & -3 & -4 2 & 1 & 1 ,
cujas colunas são v1,v2,v3.

Passo 4

Formamos o sistema aumentado e aplicamos eliminação de Gauss:
Do lado direito fica exatamente .

Resposta

P ;=; A^-1 ;=; 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 3 -1 & -2 & -4

Exercícios relacionados