Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc5 & 12 & 30 -5 & -15 & -41 1 & 4 & 12] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Verifique que D=A T A^-1 é uma matriz diagonal. Utilize essa decomposição para calcular T^4.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de representação
T= 5 & 12 & 30 -5 & -15 & -41 1 & 4 & 12
de um operador linear em R^3. O objetivo é diagonalizar T na forma
D = A,T,A^-1
com D diagonal, e então usar essa decomposição para calcular T^4. Na prática, vamos (i) encontrar os valores próprios e vetores próprios de T, (ii) construir uma matriz de passagem P cujas colunas são esses vetores, (iii) observar que definindo
A = P^-1
temos
D = A,T,A^-1 = P^-1 T P
diagonal, e por fim (iv) usar
T^4 = A^-1 D^4 A = P,D^4,P^-1

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de T:
det(T - lambda I) = 5-lambda & 12 & 30 -5 & -15-lambda & -41 1 & 4 & 12-lambda =lambda^3-2lambda^2-lambda+2 =(lambda-1)(lambda+1)(lambda-2)
Logo os valores próprios são
lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=2

Passo 3

Para cada lambdai resolvemos (T-lambdai I)x=0:
lambda1=1;Longrightarrow; v1=(6,-7,2)^T, lambda2=-1;Longrightarrow; v2=(3,-4,1)^T, lambda3=2;Longrightarrow; v3=(2,-3,1)^T

Passo 4

Formemos
P=l[v1;v2;v3r] = 6 & 3 & 2 -7 & -4 & -3 2 & 1 & 1 ,
que satisfaz
P^-1T,P = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 =D
Definindo A=P^-1, confirmamos que D=A,T,A^-1 é diagonal com entradas 1,-1,2.

Passo 5

Como T^4=A^-1D^4A e
D^4= 1^4 &0&0 0 &(-1)^4&0 0&0&2^4 = 1&0&0 0&1&0 0&0&16 ,
segue
T^4 =P,D^4,P^-1
Calculando P^-1 e efetuando o produto, obtém-se
T^4 = -29 & 0 & 90 45 & 1 & -135 -15 & 0 & 46

Resposta

T^4 = -29 & 0 & 90 45 & 1 & -135 -15 & 0 & 46

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