Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc-1 & 0 & 6 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 4] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre auto-vetores para T. É possível construir uma base para R^3 constituída apenas de autovetores de T?

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T na base beta como
[T]beta^beta = -1 & 0 & 6 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 4
e pede para encontrar vetores vneq0 tais que T(v)=lambda v (autovetores) e ver se há uma base de R^3 formada só por eles. Para isso, vamos achar primeiro os autovalores lambda resolvendo det([T]-lambda I)=0 e depois as respectivas auto-espaços.

Passo 2

Formamos A=[T]beta^beta e calculamos
det(A-lambda I) =det -1-lambda & 0 & 6 3 & 1-lambda & -9 -1 & 0 & 4-lambda
Fazendo expansão pela primeira coluna obtemos
det(A-lambda I) =-(1+lambda)l((1-lambda)(4-lambda)r)+6(1-lambda),
que simplifica para
-lambda^3+4lambda^2-5lambda+2=0 Long<=ftrightarrow lambda^3-4lambda^2+5lambda-2=0
Testando lambda=1 detectamos raiz dupla e, dividindo, restam fatores lambda-1 e lambda-2. Logo os autovalores são
lambda=1(mu<iplicidade 2), lambda=2(mu<iplicidade 1)

Passo 3

Para resolvemos , ou
Da primeira linha vem . Da segunda vem . A terceira é redundante. Assim
Um autovetor para é, por exemplo, .

Passo 4

Para resolvemos , ou
De cada linha chega-se a e não impõe nada em . Logo os vetores têm a forma
Uma base do auto-espaço é .

Passo 5

O autovalor lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2 e seu auto-espaço tem dimensão geométrica 2; para lambda=2 a dimensão é 1. Como soma das dimensões geométricas dá 2+1=3, há três auto-vetores linearmente independentes. Logo T é diagonalizável e existe base de R^3 formada apenas por autovetores.

Resposta

Autovalores e autovetores:
Sim: é base de só com autovetores.

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