Considere a matriz que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre auto-vetores para T. É possível construir uma base para R^3 constituída apenas de autovetores de T?
Passo 1
O enunciado dá a matriz de T na base beta como
[T]beta^beta = -1 & 0 & 6 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 4
e pede para encontrar vetores vneq0 tais que T(v)=lambda v (autovetores) e ver se há uma base de R^3 formada só por eles. Para isso, vamos achar primeiro os autovalores lambda resolvendo det([T]-lambda I)=0 e depois as respectivas auto-espaços.
Da primeira linha vem . Da segunda vem . A terceira é redundante. Assim
Um autovetor para é, por exemplo, .
Passo 4
Para resolvemos , ou
De cada linha chega-se a e não impõe nada em . Logo os vetores têm a forma
Uma base do auto-espaço é .
Passo 5
O autovalor lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2 e seu auto-espaço tem dimensão geométrica 2; para lambda=2 a dimensão é 1. Como soma das dimensões geométricas dá 2+1=3, há três auto-vetores linearmente independentes. Logo T é diagonalizável e existe base de R^3 formada apenas por autovetores.