Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc-1 & 0 & 6 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 4] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre o polinômio característico desse operador e determine suas raízes. O que essas raízes são do operador?

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
[T]beta^beta = -1 & 0 & 6 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 4
e pede o polinômio característico e suas raízes. O conteúdo aqui é usar a definição
p(lambda)=detl(T - lambda Ir)
para encontrar o polinômio e depois fatorá-lo, cujas raízes são os autovalores de T.

Passo 2

Construímos a matriz T - lambda I:
T - lambda I = -1-lambda & 0 & 6 3 & 1-lambda & -9 -1 & 0 & 4-lambda

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na segunda coluna (onde aparecem dois zeros):
det(T - lambda I) =(1-lambda)det -1-lambda & 6 -1 & 4-lambda
Agora o determinante 2times2 é
(-1-lambda)(4-lambda)-6cdot(-1) =l(lambda^2-3lambda-4r)+6 =lambda^2-3lambda+2

Passo 4

Portanto
p(lambda) =(1-lambda)(lambda^2-3lambda+2) =(1-lambda)(lambda-1)(lambda-2)
Podemos reescrever
p(lambda)=-,(lambda-1)^2(lambda-2)
As raízes são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=2.

Passo 5

Essas raízes são exatamente os autovalores de T, ou seja, os valores escalares lambda tais que existe vetor não nulo v com T(v)=lambda v.

Resposta

p(lambda)=-,(lambda-1)^2(lambda-2),
autovalores lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=2.

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