determine:
Encontre a matriz que representa essa transformação linear nas bases canônicas, isto é, determine [T]beta^alpha sendo alpha e beta as bases canônicas de M2(R) e R^4, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz que representa uma transformação linear específica entre espaços vetoriais. Mais especificamente, temos uma transformação T que leva matrizes 2 times 2 com números reais para vetores em R^4 . Vamos precisar entender sobre transformações lineares, bases canônicas e como representar uma transformação linear por meio de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são bases canônicas. No espaço M2(R) , que é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais, a base canônica é composta por quatro matrizes onde cada matriz tem um 1 em uma posição e 0 nas outras. Especificamente:
Agora que temos as imagens de cada vetor da base canônica sob a transformação T , podemos construir a matriz que representa T . Essa matriz é formada colocando os vetores resultantes como colunas. Ou seja, cada coluna da matriz será T(Ei) para i = 1, 2, 3, 4 .