Dada a transformação linear T: M2(R) R^4 dada por
T([ll a & b c & d ])=(a+b, a-c, b-d, a+c+d)
determine:
Encontre a matriz que representa essa transformação linear nas bases canônicas, isto é, determine [T]beta^alpha sendo alpha e beta as bases canônicas de M2(R) e R^4, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz que representa uma transformação linear específica entre espaços vetoriais. Mais especificamente, temos uma transformação T que leva matrizes 2 times 2 com números reais para vetores em R^4 . Vamos precisar entender sobre transformações lineares, bases canônicas e como representar uma transformação linear por meio de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são bases canônicas. No espaço M2(R) , que é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais, a base canônica é composta por quatro matrizes onde cada matriz tem um 1 em uma posição e 0 nas outras. Especificamente:
E1 = 1 & 0 0 & 0 , E2 = 0 & 1 0 & 0 , E3 = 0 & 0 1 & 0 , E4 = 0 & 0 0 & 1
Vamos usar essas matrizes para descobrir como a transformação T age sobre cada uma delas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação T em cada uma dessas matrizes da base canônica. A transformação está definida por:
T( a & b c & d ) = (a + b, a - c, b - d, a + c + d)
Vamos calcular T(E1) , T(E2) , T(E3) e T(E4) :
  1. Para E1 :
T(E1) = T( 1 & 0 0 & 0 ) = (1 + 0, 1 - 0, 0 - 0, 1 + 0 + 0) = (1, 1, 0, 1)
  1. Para E2 :
T(E2) = T( 0 & 1 0 & 0 ) = (0 + 1, 0 - 0, 1 - 0, 0 + 0 + 0) = (1, 0, 1, 0)
  1. Para E3 :
T(E3) = T( 0 & 0 1 & 0 ) = (0 + 0, 0 - 1, 0 - 0, 0 + 1 + 0) = (0, -1, 0, 1)
  1. Para E4 :
T(E4) = T( 0 & 0 0 & 1 ) = (0 + 0, 0 - 0, 0 - 1, 0 + 0 + 1) = (0, 0, -1, 1)

Passo 4

Agora que temos as imagens de cada vetor da base canônica sob a transformação T , podemos construir a matriz que representa T . Essa matriz é formada colocando os vetores resultantes como colunas. Ou seja, cada coluna da matriz será T(Ei) para i = 1, 2, 3, 4 .
Assim, temos:
[T]beta^alpha = 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & 0 & 1 & 1

Resposta

A matriz que representa a transformação linear T nas bases canônicas é:
[T]beta^alpha = 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & 0 & 1 & 1

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