Considere a matriz que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Verifique que D=A T A^-1 é uma matriz diagonal. Utilize essa decomposição para calcular T^5.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
[T]beta^beta = -1 & 0 & 6 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 4 ,
que representa um operador linear TcolonR^3toR^3.
O conteúdo aqui é diagonalização de T, ou seja, achar uma base de autovetores e escrever
T = A,D,A^-1,
onde D é diagonal. Em seguida usamos essa decomposição para calcular T^5.
Passo 2
Para diagonalizar precisamos dos autovalores. Calculamos o polinômio característico
Logo os autovalores são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=2.
Passo 3
Agora achamos as direções:
Para lambda=1 resolvemos ([T]beta^beta-I)v=0. Isso dá o sistema
-2x+6z=0, 3x-9z=0, -x+3z=0,
cuja solução geral é v=(3z,y,z). Uma base de autovetores para lambda=1 é ,v1=(3,0,1) e v2=(0,1,0).
2. Para lambda=2 resolvemos ([T]beta^beta-2I)v=0. Isso dá