Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc-1 & 0 & 6 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 4] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Verifique que D=A T A^-1 é uma matriz diagonal. Utilize essa decomposição para calcular T^5.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
[T]beta^beta = -1 & 0 & 6 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 4 ,
que representa um operador linear TcolonR^3toR^3.
O conteúdo aqui é diagonalização de T, ou seja, achar uma base de autovetores e escrever
T = A,D,A^-1,
onde D é diagonal. Em seguida usamos essa decomposição para calcular T^5.

Passo 2

Para diagonalizar precisamos dos autovalores. Calculamos o polinômio característico
detl([T]beta^beta-lambda Ir) =(1-lambda)l(lambda^2-3lambda+2r) =(1-lambda)(lambda-1)(lambda-2)
Logo os autovalores são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=2.

Passo 3

Agora achamos as direções:
  1. Para lambda=1 resolvemos ([T]beta^beta-I)v=0. Isso dá o sistema
-2x+6z=0, 3x-9z=0, -x+3z=0,
cuja solução geral é v=(3z,y,z). Uma base de autovetores para lambda=1 é
,v1=(3,0,1) e v2=(0,1,0).
2. Para lambda=2 resolvemos ([T]beta^beta-2I)v=0. Isso dá
-3x+6z=0, 3x-y-9z=0, -x+2z=0
e a solução é v=(2z,-3z,z). Tomamos v3=(2,-3,1).

Passo 4

Definimos
A = 3 & 0 & 2 0 & 1 & -3 1 & 0 & 1 ,
cuja coluna j é o autovetor vj. Então
D = A^-1,[T]beta^beta,A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 ,
confirmando que D é diagonal.

Passo 5

Como , segue
Observe que e que é o projetor sobre o autovalor 2, que se escreve . Assim

Passo 6

Bastou então multiplicar:
31,T -30,I =31 -1 & 0 & 6 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 4 -30 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = -61 & 0 & 186 93 & 1 & -279 -31 & 0 & 94

Resposta

T^5 ;=; -61 & 0 & 186 93 & 1 & -279 -31 & 0 & 94

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