Dada a transformação linear T: M2(R) R^4 dada por
T([ll a & b c & d ])=(a+b, a-c, b-d, a+c+d)
determine:
É correto afirmar que T é isomorfismo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a transformação linear T é um isomorfismo. Vamos trabalhar com matrizes 2 times 2 e vetores em R^4 . Para resolver isso, vamos ver se T é uma transformação que é ao mesmo tempo injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo R^4 ). Isso é o que define um isomorfismo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a transformação T funciona. Ela pega uma matriz 2 times 2 como
a & b c & d
e mapeia para um vetor em R^4 da seguinte forma:
T( a & b c & d ) = (a + b, a - c, b - d, a + c + d)
Isso significa que cada elemento da matriz original está contribuindo para os componentes do vetor resultante.

Passo 3

Agora, vamos representar essa transformação como uma matriz. Como estamos mapeando de M2(R) (que tem dimensão 4) para R^4 (também dimensão 4), a matriz de T será 4 times 4 .
Cada coluna dessa matriz vai corresponder a como cada variável a, b, c, d afeta cada componente do vetor T . Então, a matriz fica assim:
1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & 0 & 1 & 1

Passo 4

Para ver se T é um isomorfismo, precisamos verificar se essa matriz é invertível. Uma maneira de fazer isso é calculando o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, T é um isomorfismo.

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz:
1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & 0 & 1 & 1
Podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Ao calcular, encontramos que o determinante é diferente de zero (especificamente, é 2 ).

Resposta

Como o determinante da matriz de T é diferente de zero, isso significa que T é invertível. Portanto, T é um isomorfismo.

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