Verifique se as funções a seguir são transformações lineares:
T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(y, z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (y,z)
é uma transformação linear. Vamos usar a definição de linearidade, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Aditividade: para quaisquer vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em R^3, precisamos verificar
T(u+v) ;=; T(u) + T(v)
Calculamos
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
então
T(u+v) = l(y1+y2,;z1+z2r) = (y1,z1) + (y2,z2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Homogeneidade: para qualquer escalar cinR e qualquer vetor u=(x1,y1,z1), verificamos
T(c,u) ;=; c,T(u)
De fato,
c,u = (c x1,;c y1,;c z1),
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T(c,u) = (c y1,;c z1) = c,(y1,z1) = c,T(u)

Resposta

A função T(x,y,z)=(y,z) satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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