Verifique se as funções a seguir são transformações lineares:
T: M2(R) R dada por T(A)=tr(A)=a11+a22

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon M2(R) to R, T(A)=tr(A)=a11+a22
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição: T é linear se, para quaisquer matrizes A,B e escalar c, vale
  1. T(A+B)=T(A)+T(B)
  2. T(cA)=c,T(A).

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam
Então

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para um escalar c e a matriz A acima,
T(cA)=tr(cA) =c,a11+c,a22 =c,(a11+a22) =c,T(A)

Passo 4

Concluímos que T satisfaz ambas as propriedades de linearidade (aditividade e homogeneidade), logo é de fato uma transformação linear.

Resposta

A aplicação Tcolon M2(R)toR dada por T(A)=tr(A) é uma transformação linear.

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