Dada a transformação linear T: P2(R) R^4 dada por T(a t^2+b t+c)=(4 a+2 b, 0,3 c, 2 a+b), determine:
O núcleo desta transformação linear e uma base para o núcleo desta transformação linear.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon P2(R)toR^4
por
Tl(a t^2 + b t + cr) = (4a + 2b,;0,;3c,;2a + b)
Queremos encontrar o núcleo de T, isto é
ker(T) = ,p(t)=a t^2 + b t + c : T(p)=0,
e uma base para esse núcleo.

Passo 2

Escrevemos a condição T(a t^2 + b t + c) = (0,0,0,0). Isso gera o sistema de equações
4a + 2b = 0, 0 = 0, 3c = 0, 2a + b = 0

Passo 3

Da terceira equação vem
3c = 0 ;Longrightarrow; c = 0
Da quarta equação vem
2a + b = 0 ;Longrightarrow; b = -2a
Substituindo em 4a + 2b = 4a + 2(-2a) = 0, vemos que a primeira equação é redundante.
Logo os polinômios do núcleo são
p(t) = a,t^2 + b,t + c = a,t^2 + (-2a),t + 0 = a,(t^2 - 2t),
com ainR.

Resposta

ker(T) = ,a,(t^2 - 2t) : ainR.
Uma base para ker(T) é
,t^2 - 2t

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