Dada a transformação linear T: M2(R) R^3 dada por T([lla & b c & d])=(a+b, a-c, d), determine:
Encontre a matriz que representa essa transformação linear nas bases canônicas, isto é, determine [T]beta^alpha sendo alpha e beta as bases canônicas de M2(R) e R^3, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear. A gente tem uma transformação T que pega matrizes 2x2 com números reais e transforma em vetores de R^3 . O que precisamos fazer aqui é encontrar a matriz que representa essa transformação nas bases canônicas. Para isso, vamos usar conceitos de bases, transformações lineares e representação matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas para M2(R) e R^3 . A base canônica de M2(R) consiste nas quatro matrizes que têm um 1 em uma posição e 0 nas outras, ou seja:
E1 = 1 & 00 & 0, E2 = 0 & 10 & 0, E3 = 0 & 01 & 0, E4 = 0 & 00 & 1
E a base canônica de R^3 é:
alpha1 = 100, alpha2 = 010, alpha3 = 001

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz de T nas bases canônicas, vamos aplicar T a cada uma das matrizes da base de M2(R) e expressar o resultado como uma combinação linear das vetores da base de R^3 .

Passo 4

Vamos calcular T(E1) :
E1 = 1 & 00 & 0 Rightarrow a=1, b=0, c=0, d=0
Aplicando T :
T(E1) = (1+0, 1-0, 0) = (1, 1, 0) = 1alpha1 + 1alpha2 + 0alpha3
Então, a primeira coluna da matriz de T será 110.

Passo 5

Agora, vamos calcular T(E2) :
E2 = 0 & 10 & 0 Rightarrow a=0, b=1, c=0, d=0
Aplicando T :
T(E2) = (0+1, 0-0, 0) = (1, 0, 0) = 1alpha1 + 0alpha2 + 0alpha3
Então, a segunda coluna da matriz de T será 100.

Passo 6

Vamos calcular T(E3) :
E3 = 0 & 01 & 0 Rightarrow a=0, b=0, c=1, d=0
Aplicando T :
T(E3) = (0+0, 0-1, 0) = (0, -1, 0) = 0alpha1 -1alpha2 + 0alpha3
Então, a terceira coluna da matriz de T será 0-10.

Passo 7

Por último, vamos calcular T(E4) :
E4 = 0 & 00 & 1 Rightarrow a=0, b=0, c=0, d=1
Aplicando T :
T(E4) = (0+0, 0-0, 1) = (0, 0, 1) = 0alpha1 + 0alpha2 + 1alpha3
Então, a quarta coluna da matriz de T será 001.

Resposta

A matriz que representa a transformação linear T nas bases canônicas é:
[T]beta^alpha = 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

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