Dada a transformação linear T: M2(R) R^3 dada por T([lla & b c & d])=(a+b, a-c, d), determine:
É correto afirmar que T é isomorfismo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se uma transformação linear específica, chamada T, é um isomorfismo. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente no estudo de transformações lineares e isomorfismos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa ser um isomorfismo e verificar algumas propriedades matemáticas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais é uma função que respeita a adição de vetores e a multiplicação por escalar. No nosso caso, T transforma matrizes 2 times 2 com números reais em vetores do espaço R^3.

Passo 3

Agora, o que é um isomorfismo? Um isomorfismo é uma transformação linear que é ao mesmo tempo injetora (cada elemento do espaço de chegada é imagem de, no máximo, um elemento do espaço de partida) e sobrejetora (cada elemento do espaço de chegada é imagem de pelo menos um elemento do espaço de partida). Se T for um isomorfismo, isso significa que existe uma correspondência perfeita entre as duas estruturas, sem “perder” ou “duplicar” informações.

Passo 4

Para verificar se T é um isomorfismo, vamos analisar as dimensões dos espaços envolvidos. O espaço M2(R) de matrizes 2 times 2 tem dimensão 4 (pois há 4 entradas independentes: a, b, c, d). Já o espaço R^3 tem dimensão 3.

Passo 5

De acordo com o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), para uma transformação linear entre espaços vetoriais finitamente dimensionais, se as dimensões dos espaços de partida e chegada forem diferentes, a transformação não pode ser um isomorfismo. Isso ocorre porque não há como estabelecer uma correspondência bijetiva entre espaços de dimensões diferentes.

Passo 6

Como no nosso caso M2(R) tem dimensão 4 e R^3 tem dimensão 3, já podemos concluir que não existe uma correspondência bijetiva entre eles. Portanto, a transformação T não pode ser um isomorfismo.

Resposta

Não, T não é um isomorfismo.

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