Considere:
  • a matriz representa uma transformação linear em que e são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
  • a transformação linear tal que ,
    Utilizando as condições acima, determine e .

Passo 1

O enunciado nos dá duas transformações lineares. Primeiro, T:R^2to M2(R) cuja matriz em relação às bases canônicas é
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 ,
onde as colunas são as coordenadas de T(e1) e T(e2) no “espaço de dimensão 4” M2(R) com base E11,E12,E21,E22.
Segundo, S:M2(R)toR é um funcional linear cujo valor em quatro matrizes específicas é conhecido. Precisamos achar explicitamente T(a,b) e a expressão de S em uma matriz genérica l[x;y;;z;wr].

Passo 2

Para T, extraímos da matriz de representação:
T(e1)=1cdot E11+0cdot E12+0cdot E21+1cdot E22 = 1&00&1,
T(e2)=0cdot E11+(-1)cdot E12+1cdot E21+0cdot E22 = 0&-11&0
Como T é linear, para (a,b) qualquer temos
T(a,b)=a,T(e1)+b,T(e2)

Passo 3

Somando as matrizes acima com pesos e obtemos

Passo 4

Para S, chamemos
s11=S(E11),; s12=S(E12),; s21=S(E21),; s22=S(E22)
As quatro condições dadas geram o sistema
2s11-s12+s21+2s22=4, 3s12-3s22=3, s11+s12+s21+s22=2, s11+s21=1

Passo 5

Resolvendo em ordem: da quarta equação s21=1-s11.
Da terceira s12+s22=1.
Da segunda 3s12-3s22=3implies s22=0 e então s12=1.
Na primeira 2s11-1+(1-s11)+0=4implies s11=4 e s21=-3.

Passo 6

Logo, para uma matriz genérica vale

Resposta

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