Dada a transformação linear T: P2(R) R^4 dada por T(a t^2+b t+c)=(a-b, 0, c-b, 0), determine:
Encontre a matriz que representa essa transformação linear nas bases canônicas, isto é, determine [T]beta^alpha sendo alpha e beta as bases canônicas de P2(R) e R^4, respectivamente

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon P2(R)toR^4, Tl(a t^2+b t+cr)=(a-b,,0,,c-b,,0),
e pede a matriz de T nas bases canônicas alpha=t^2,t,1 de P2(R) e beta=e1,e2,e3,e4 de R^4.
Para montar [T]beta^alpha, basta calcular T em cada vetor de alpha e usar esses resultados como colunas na base beta.

Passo 2

Calcular T(t^2). Aqui a=1,b=0,c=0, logo
T(t^2)=(1-0,,0,,0-0,,0)=(1,0,0,0)

Passo 3

Calcular T(t). Aqui a=0,b=1,c=0, logo
T(t)=(0-1,,0,,0-1,,0)=(-1,0,-1,0)

Passo 4

Calcular T(1). Aqui a=0,b=0,c=1, logo
T(1)=(0-0,,0,,1-0,,0)=(0,0,1,0)

Passo 5

Montar a matriz [T]beta^alpha. As colunas são os vetores T(t^2), T(t) e T(1) expressos na base beta:
[T]beta^alpha = 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0

Resposta

[T]beta^alpha = 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0

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