Dada a transformação linear
dada por
, determine:
É correto afirmar que
é isomorfismo?
É correto afirmar que
Passo 1
O enunciado define
- o espaço de partida
, que tem , - o espaço de chegada
, que tem ,
e a transformação linear
Para que
seja isomorfismo, ela precisa ser bijetiva (injetiva e sobrejetiva) entre espaços de mesma dimensão.
Passo 2
Calculamos o núcleo de
Daí , logo todo polinômio do núcleo é da forma
Portanto
de modo que
.
Passo 3
Como
, a transformação não é injetiva (só seria injetiva se o núcleo fosse
).
Passo 4
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem
Mas
, então
e
não é sobrejetiva.
Resposta
Não,
não é isomorfismo, pois não é nem injetiva (núcleo não trivial) nem sobrejetiva (
).