Dada a transformação linear T: P2(R) R^4 dada por T(a t^2+b t+c)=(a-b, 0, c-b, 0), determine:
É correto afirmar que T é isomorfismo?

Passo 1

O enunciado define
  • o espaço de partida P2(R), que tem dim P2(R)=3,
  • o espaço de chegada R^4, que tem dimR^4=4,
    e a transformação linear
Tl(a t^2+b t+cr) = (,a-b,,0,,c-b,,0,)
Para que T seja isomorfismo, ela precisa ser bijetiva (injetiva e sobrejetiva) entre espaços de mesma dimensão.

Passo 2

Calculamos o núcleo de
Daí , logo todo polinômio do núcleo é da forma
Portanto
de modo que .

Passo 3

Como dimker(T)=1>0, a transformação não é injetiva (só seria injetiva se o núcleo fosse 0).

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem
dimIm(T) = dim P2(R) - dimker(T) = 3 - 1 = 2
Mas dimR^4=4, então Im(T)subsetneqR^4 e T não é sobrejetiva.

Resposta

Não, T não é isomorfismo, pois não é nem injetiva (núcleo não trivial) nem sobrejetiva ( dimIm(T)=2<4).

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