Considere:
  • a matriz [T]beta^alpha=[cc1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0] representa uma transformação linear T: R^2 M2(R) em que alpha e beta são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
  • a transformação linear S: M2(R) R tal que S([cc2 & -1 1 & 2])=4, S([cc0 & 3 0 & -3])=3, S([ll1 & 1 1 & 1])=2, S([ll1 & 0 1 & 0])=1
    Verifique que [S circ T]gamma^alpha=[S]gamma^beta cdot[T]beta^alpha. Para fazer isso, você deve determinar
ccc S circ T: R^2 & & R (a, b) & mapsto & (S circ T)(a, b)=S(T(a, b))
e construir a matriz [S circ T]gamma^alpha e comparar com [S]gamma^beta cdot[T]beta^alpha.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares
T:R^2to M2(R)
com
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 ,
onde alpha é a base canônica de R^2 e beta=(B1,B2,B3,B4) é a base canônica de M2(R), e
S:M2(R)toR
é dada por
S(M1)=4, S(M2)=3, S(M3)=2, S(M4)=1,
onde
M1=2 & -11 & 2, ; M2=0 & 30 & -3, ; M3=1 & 11 & 1, ; M4=1 & 01 & 0
Queremos mostrar que
[Scirc T]gamma^alpha = [S]gamma^beta,cdot,[T]beta^alpha,
sendo gamma a base canônica de R.

Passo 2

Como [T]beta^alpha tem colunas que são as coordenadas de T(e1) e T(e2) na base beta, temos
T(e1)=1cdot B1+0cdot B2+0cdot B3+1cdot B4 =B1+B4,
T(e2)=0cdot B1+(-1)cdot B2+1cdot B3+0cdot B4 =-B2+B3

Passo 3

Para obter [S]gamma^beta precisamos de S(Bi) para i=1,dots,4. Usamos que (B1,B2,B3,B4) gera M2(R) e que S é linear. Por exemplo, para achar S(B1) escrevemos
B1=alpha M1+beta M2+gamma M3+de<a M4
e resolvemos o sistema de entradas iguais. Fazendo isso para cada Bi (omitindo detalhes da álgebra), obtemos
S(B1)=4, S(B2)=1, S(B3)=-3, S(B4)=0
Logo
[S]gamma^beta = 4 & 1 & -3 & 0

Passo 4

Agora calculamos (Scirc T)(ej)=Sl(T(ej)r):
(Scirc T)(e1)=S(B1+B4)=S(B1)+S(B4)=4+0=4,
(Scirc T)(e2)=S(-B2+B3)=-S(B2)+S(B3)=-1+(-3)=-4
Assim
[Scirc T]gamma^alpha = 4 & -4

Passo 5

Finalmente fazemos o produto
[S]gamma^beta,cdot,[T]beta^alpha = 4 & 1 & -3 & 0 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 = 4cdot1 +1cdot0 +(-3)cdot0 +0cdot1 & 4cdot0 +1cdot(-1)+(-3)cdot1+0cdot0 = 4 & -4 ,
que coincide com [Scirc T]gamma^alpha.

Resposta

[Scirc T]gamma^alpha = 4 & -4 e [S]gamma^beta,[T]beta^alpha = 4 & -4 ,
logo a igualdade está verificada.

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