a matriz representa uma transformação linear T: R^2 M2(R) em que alpha e beta são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
a transformação linear S: M2(R) R tal que S([cc2 & -1 1 & 2])=4, S([cc0 & 3 0 & -3])=3, S([ll1 & 1 1 & 1])=2, S([ll1 & 0 1 & 0])=1
Verifique que [S circ T]gamma^alpha=[S]gamma^beta cdot[T]beta^alpha. Para fazer isso, você deve determinar
ccc S circ T: R^2 & & R (a, b) & mapsto & (S circ T)(a, b)=S(T(a, b))
e construir a matriz [S circ T]gamma^alpha e comparar com [S]gamma^beta cdot[T]beta^alpha.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares T:R^2to M2(R)
com
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 ,
onde alpha é a base canônica de R^2 e beta=(B1,B2,B3,B4) é a base canônica de M2(R), e S:M2(R)toR
é dada por
Para obter [S]gamma^beta precisamos de S(Bi) para i=1,dots,4. Usamos que (B1,B2,B3,B4) gera M2(R) e que S é linear. Por exemplo, para achar S(B1) escrevemos
B1=alpha M1+beta M2+gamma M3+de<a M4
e resolvemos o sistema de entradas iguais. Fazendo isso para cada Bi (omitindo detalhes da álgebra), obtemos