Verifique se as funções a seguir são transformações lineares:
T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x, z)

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3toR^2 por
T(x,y,z)=(x,z)
Queremos verificar se T satisfaz as duas propriedades de linearidade:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) para todos u,vinR^3.
  2. T(alpha u)=alpha,T(u) para todo alphainR e uinR^3.

Passo 2

Verificação da propriedade aditiva.
Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e, aplicando T,
T(u+v) =(,x1+x2,;z1+z2) =(x1,z1)+(x2,z2) =T(u)+T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Para alphainR e u=(x,y,z),
alpha u=(alpha x,;alpha y,;alpha z),
logo
T(alpha u) =(alpha x,;alpha z) =alpha,(x,z) =alpha,T(u)

Passo 4

Concluímos que satisfaz ambas as propriedades de linearidade, logo é uma transformação linear. Em relação às bases canônicas de e , a matriz de é
pois

Resposta

T é transformação linear e sua matriz, nas bases canônicas, é
1 & 0 & 0 0 & 0 & 1

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