Mostre que se
é primeiro e divide o produto ab, então
divide a ou
divide
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um número primo e que
divide o produto
. Queremos mostrar que disso decorre que
divide
ou
divide
. O conteúdo principal aqui é teoria de divisibilidade e o uso do Lema de Bézout para combinações lineares com o máximo divisor comum.
Passo 2
Primeiro, notemos que, por definição de primo, os únicos divisores positivos de
são
e
mesmos. Logo, se
já divide
, terminamos a prova nesse caso, pois é justamente uma das conclusões que queremos. Caso contrário, isto é, se
não divide
, então
.
Passo 3
Pelo Lema de Bézout, se
, existem inteiros
e
tais que
Passo 4
Multiplicando essa combinação por
, obtemos
Como assumimos
, sabemos que
divide o termo
. Também é claro que
divide
. Portanto,
divide a soma
isto é,
.
Resposta
Concluímos que, se
é primo e
, então necessariamente
ou
, como queríamos demonstrar.