Mostre que se p é primeiro e divide o produto ab, então p divide a ou p divide b.

Passo 1

O enunciado afirma que p é um número primo e que p divide o produto ab. Queremos mostrar que disso decorre que p divide a ou p divide b. O conteúdo principal aqui é teoria de divisibilidade e o uso do Lema de Bézout para combinações lineares com o máximo divisor comum.

Passo 2

Primeiro, notemos que, por definição de primo, os únicos divisores positivos de p são 1 e p mesmos. Logo, se p já divide a, terminamos a prova nesse caso, pois é justamente uma das conclusões que queremos. Caso contrário, isto é, se p não divide a, então gcd(p,a)=1.

Passo 3

Pelo Lema de Bézout, se gcd(p,a)=1, existem inteiros x e y tais que
x,p + y,a = 1

Passo 4

Multiplicando essa combinação por b, obtemos
x,p,b + y,a,b = b
Como assumimos pmid ab, sabemos que p divide o termo y,a,b. Também é claro que p divide x,p,b. Portanto, p divide a soma
x,p,b + y,a,b,
isto é, pmid b.

Resposta

Concluímos que, se p é primo e pmid ab, então necessariamente pmid a ou pmid b, como queríamos demonstrar.

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