Verifique se as funções a seguir são transformações lineares:
T: P2(R) R dada por T(a t^2+b t+c)=a b c

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon P2(R) to R
por
Tl(a t^2+b t+cr)=a,b,c
Queremos verificar se T é transformação linear, ou seja, se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, T é linear se, para quaisquer polinômios p,qin P2(R) e todo escalar alphainR, valem
  1. T(p+q)=T(p)+T(q) (aditividade)
  2. T(alpha p)=alpha,T(p) (homogeneidade)

Passo 3

Testamos a homogeneidade. Seja
p(t)=a,t^2+b,t+c
Então
alpha,p(t)=l(alpha ar)t^2+l(alpha br)t+l(alpha cr),
logo
Tl(alpha pr) =(alpha a),(alpha b),(alpha c) =alpha^3,(a,b,c) =alpha^3,T(p)
Para linearidade precisaríamos T(alpha p)=alpha,T(p), ou seja, alpha^3T(p)=alpha T(p) para todo alpha. Isso só é verdade em geral se alpha^3=alpha para todo alpha, o que não ocorre (basta escolher alpha=2, por exemplo, para falhar).

Resposta

T não é transformação linear.

Exercícios relacionados