Considere a matriz
A=[ccc 0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2 ]
Se a resposta do item (c) for afirmativa, determine uma matriz inversível P tal que P^-1 A P é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz inversível P que diagonaliza
A = 0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2
ou seja, tal que
P^-1 A P = D
é diagonal. O conteúdo necessário é o processo de diagonalização: calcular autovalores (raízes do polinômio característico) e autovetores correspondentes para formar P.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A. Definimos
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = -lambda & 7 & -6 -1 & 4-lambda & 0 0 & 2 & -2-lambda
Fazendo a expansão, obtemos
chiA(lambda) = -lambda,(4-lambda)(-2-lambda);+;(-1)det7 & -62 & -2-lambda = -lambda^3 +2lambda^2 +lambda - 2
Multiplicando por -1, fica
lambda^3 -2lambda^2 -lambda +2 = 0

Passo 3

Fatoramos lambda^3 -2lambda^2 -lambda +2. Testando lambda=1 dá zero, então dividimos e achamos
lambda^3 -2lambda^2 -lambda +2 = (lambda-1)(lambda^2 -lambda -2) = (lambda-1)(lambda-2)(lambda+1)
Logo, os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = -1

Passo 4

Para , resolvemos , i.e.
Das equações surge e . Tomando obtém-se

Passo 5

Para , resolvemos , i.e.
Dessa, e . Escolhendo temos

Passo 6

Para , resolvemos , i.e.
e . Tomando vem

Passo 7

Montamos P usando os autovetores como colunas e D com os autovalores na diagonal:
P = 9 & 4 & 5 3 & 2 & 1 2 & 1 & 2 , D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1
Verifica-se que P é inversível (determinante não nulo) e de fato
P^-1 A P = D

Resposta

Uma escolha de matriz inversível P que diagonaliza A é
P = 9 & 4 & 5 3 & 2 & 1 2 & 1 & 2 ,
pois então
P^-1 A P = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1

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