Encontre um operador linear
que tenha como núcleo e como imagem a reta
.
Passo 1
O enunciado pede um operador linear
tal que tanto o núcleo quanto a imagem
sejam a reta
tal que tanto o núcleo
ou seja,
.
Para isso, precisamos de uma aplicação que:
. Zere exatamente em
, garantindo
.
. Tenha valores que percorram
, garantindo
.
Para isso, precisamos de uma aplicação que:
Passo 2
Uma forma simples de anular qualquer vetor em
é usar a forma linear
Note que
se e somente se
, ou seja,
.
Passo 3
Para que a imagem de
seja também
, basta pegar um vetor gerador de
, por exemplo
, e “varrer” toda a reta multiplicando-o por
. Definimos então
Isso é claramente linear, pois é a composição de uma forma linear
com uma multiplicação escalar.
Passo 4
Verificamos agora núcleo e imagem:
- Se
, então , o que implica . Logo . - A imagem de
é o conjunto de todos os múltiplos de , pois . Logo .
Resposta
Uma escolha conveniente é
De fato,
e
.