Encontre um operador linear T: R^2 R^2 que tenha como núcleo e como imagem a reta y-x=0.

Passo 1

O enunciado pede um operador linear
T:R^2toR^2
tal que tanto o núcleo ker(T) quanto a imagem Im(T) sejam a reta
L=(x,y)inR^2 mid y - x = 0,
ou seja, L=span(1,1).
Para isso, precisamos de uma aplicação que:
1. Zere exatamente em L, garantindo ker(T)=L.
2. Tenha valores que percorram L, garantindo Im(T)=L.

Passo 2

Uma forma simples de anular qualquer vetor em L é usar a forma linear
f(x,y)=y-x
Note que f(x,y)=0 se e somente se y-x=0, ou seja, ker(f)=L.

Passo 3

Para que a imagem de T seja também L, basta pegar um vetor gerador de L, por exemplo (1,1), e “varrer” toda a reta multiplicando-o por f(x,y). Definimos então
T(x,y)=f(x,y),(1,1)=(y-x),(1,1)
Isso é claramente linear, pois é a composição de uma forma linear f com uma multiplicação escalar.

Passo 4

Verificamos agora núcleo e imagem:
  • Se (x,y)inker(T), então T(x,y)=(y-x)(1,1)=(0,0), o que implica y-x=0. Logo ker(T)=y-x=0=L.
  • A imagem de T é o conjunto de todos os múltiplos de (1,1), pois T(x,y)=(y-x)(1,1). Logo Im(T)=span(1,1)=L.

Resposta

Uma escolha conveniente é
T:R^2toR^2, T(x,y)=(y-x,,y-x)
De fato, ker(T)=(x,y)mid y-x=0 e Im(T)=span(1,1)=(x,y)mid y-x=0.

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