Determinar a equação da mediatriz do segmento que os eixos coordenados determinam na reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação da mediatriz do segmento que a reta
forma com os eixos coordenados. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como interseções de retas com eixos, distância entre pontos e equação da mediatriz.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a reta
intercepta os eixos coordenados.
- Interseção com o eixo
: Para achar onde a reta cruza o eixo , fazemos na equação da reta.
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
- Interseção com o eixo
: Para achar onde a reta cruza o eixo , fazemos na equação da reta.
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 3
Agora que temos os pontos
e
, vamos determinar o ponto médio desse segmento, pois a mediatriz passa por esse ponto.
A fórmula do ponto médio
entre dois pontos
e
é:
Aplicando para
e
:
Então, o ponto médio é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o coeficiente angular da mediatriz. A mediatriz é perpendicular ao segmento
, então o coeficiente angular da mediatriz será o negativo do inverso do coeficiente angular de
.
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular de
. A fórmula é:
Para
e
:
Então, o coeficiente angular da mediatriz
será:
Passo 5
Agora que temos o ponto médio
e o coeficiente angular da mediatriz
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
é o ponto pelo qual a reta passa e
é o coeficiente angular.
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma geral
. Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
Distribuindo:
Levantando todos os termos para um lado:
Simplificando as constantes:
Ou, preferivelmente:
Resposta
A equação da mediatriz do segmento determinado pelos eixos coordenados na reta
é: