Determinar a equação da mediatriz do segmento que os eixos coordenados determinam na reta L: 5 x+3 y-15=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação da mediatriz do segmento que a reta L: 5x + 3y - 15 = 0 forma com os eixos coordenados. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como interseções de retas com eixos, distância entre pontos e equação da mediatriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a reta L intercepta os eixos coordenados.
  • Interseção com o eixo x : Para achar onde a reta cruza o eixo x , fazemos y = 0 na equação da reta.
5x + 3(0) - 15 = 0 implies 5x - 15 = 0 implies x = 3
Então, o ponto de interseção com o eixo x é A(3, 0) .
  • Interseção com o eixo y : Para achar onde a reta cruza o eixo y , fazemos x = 0 na equação da reta.
5(0) + 3y - 15 = 0 implies 3y - 15 = 0 implies y = 5
Então, o ponto de interseção com o eixo y é B(0, 5) .

Passo 3

Agora que temos os pontos A(3, 0) e B(0, 5) , vamos determinar o ponto médio desse segmento, pois a mediatriz passa por esse ponto.
A fórmula do ponto médio M entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é:
M( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando para A(3, 0) e B(0, 5) :
M( 3 + 02, 0 + 52 ) = M( 32, 52 )
Então, o ponto médio é M( 32, 52 ) .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o coeficiente angular da mediatriz. A mediatriz é perpendicular ao segmento AB , então o coeficiente angular da mediatriz será o negativo do inverso do coeficiente angular de AB .
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular de AB . A fórmula é:
mAB = y2 - y1x2 - x1
Para A(3, 0) e B(0, 5) :
mAB = 5 - 00 - 3 = 5-3 = -53
Então, o coeficiente angular da mediatriz mmediatriz será:
mmediatriz = -1mAB = -1-53 = 35

Passo 5

Agora que temos o ponto médio M( 32, 52 ) e o coeficiente angular da mediatriz 35 , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y0 = m (x - x0)
Onde (x0, y0) é o ponto pelo qual a reta passa e m é o coeficiente angular.
Substituindo os valores:
y - 52 = 35 ( x - 32 )

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma geral ax + by + c = 0 . Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
5( y - 52 ) = 3 ( x - 32 )
Distribuindo:
5y - 252 = 3x - 92
Levantando todos os termos para um lado:
5y - 3x - 252 + 92 = 0
Simplificando as constantes:
-3x + 5y - 8 = 0
Ou, preferivelmente:
3x - 5y + 8 = 0

Resposta

A equação da mediatriz do segmento determinado pelos eixos coordenados na reta L: 5x + 3y - 15 = 0 é:
3x - 5y + 8 = 0

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