Seja u=(lambda,(1-lambda), 1) uma base ortonormal e lambda. Calcule os valores de |u|=2 para os quais .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma base ortonormal e o vetor vec u=(lambda,,1-lambda,,1). Precisamos achar os valores de lambda tais que a norma euclidiana desse vetor seja 2.

Passo 2

Como a base é ortonormal, a norma é dada por |vec u|=raizlambda^2+(1-lambda)^2+1^2. Para |vec u|=2 temos que escrever o quadrado da norma e igualar a 4:
lambda^2+(1-lambda)^2+1^2=4
Expandindo e simplificando chegamos à equação quadrática:
$$
2\lambda^2-2\lambda+2=4
2lambda^2-2lambda+2=4
\lambda^2-\lambda-1=0
$$

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara nesta equação, obtemos
$$\lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}
$$

Resposta

lambda=dfrac1+raiz52 ou lambda=dfrac1-raiz52

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