Seja
uma base ortonormal e
. Calcule os valores de
para os quais
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma base ortonormal e o vetor
. Precisamos achar os valores de
tais que a norma euclidiana desse vetor seja 2.
Passo 2
Como a base é ortonormal, a norma é dada por
. Para
temos que escrever o quadrado da norma e igualar a 4:
Expandindo e simplificando chegamos à equação quadrática:
$$
2\lambda^2-2\lambda+2=4
\lambda^2-\lambda-1=0
$$
Passo 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara nesta equação, obtemos
$$\lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}
$$