(0,5) Considere a matriz
[I]gamma^beta=[lll 1 & 0 & 0 0 & 3 & 2 0 & 1 & 1 ]
Sabendo que gamma=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) é uma base de R^3, quem é a base beta ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a matriz de passagem (identidade)
[I]gamma^beta = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 2 0 & 1 & 1
onde gamma=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) é conhecida e beta=beta1,beta2,beta3 é a base buscada. Cada coluna j dessa matriz são as coordenadas de gammaj na base beta.

Passo 2

Da primeira coluna l(1,0,0r) vem
gamma1=(1,1,1)=1cdotbeta1+0cdotbeta2+0cdotbeta3
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beta1=gamma1=(1,1,1)

Passo 3

Denotemos beta2=b e beta3=c.
A segunda coluna l(0,3,1r)
gamma2=(1,1,0)=0cdotbeta1+3,b+1,c Longrightarrow 3b + c = (1,1,0)
A terceira coluna l(0,2,1r)
gamma3=(1,0,0)=0cdotbeta1+2,b+1,c Longrightarrow 2b + c = (1,0,0)

Passo 4

Subtraindo as duas equações:
(3b+c)-(2b+c)= (1,1,0)-(1,0,0) Longrightarrow b = (0,1,0)
Substituindo em 2b+c=(1,0,0):
2,(0,1,0) + c = (1,0,0) Longrightarrow c = (1,-2,0)
Assim
beta2 = (0,1,0), beta3 = (1,-2,0)

Resposta

A base beta é
beta = l(1,1,1),,(0,1,0),,(1,-2,0)r

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