(1,0) Encontre uma base para os seguintes subespaços de R^3 :
O subespaço solução do sistema linear homogêneo
ll x1-3 x2+x3 & =0 2 x1-6 x2+2 x3 & =0 3 x1-92 x2+3 x3 & =0

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço de R^3 formado pelas soluções do sistema homogêneo. O conteúdo necessário é eliminação de Gauss para sistemas lineares, identificação de variáveis livres e parametrização da solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss:
1 & -3 & 1 2 & -6 & 2 3 & -92 & 3 ;longrightarrow; 1 & -3 & 1 [6pt] 2-2cdot1 & -6-2cdot(-3) & 2-2cdot1 [3pt] 3-3cdot1 & -92-3cdot(-3) & 3-3cdot1 ;=; 1 & -3 & 1 0 & 0 & 0 0 & -83 & 0 ]

Passo 3

Da terceira linha obtemos
-83,x2=0 Longrightarrow x2=0
Da primeira linha, substituindo x2=0,
x1-3cdot0 + x3=0 Longrightarrow x1 + x3=0 Longrightarrow x1=-,x3

Passo 4

Escolhendo x3=t como parâmetro livre, temos
(x1,x2,x3) = (-t,,0,,t) = t,(-1,0,1)
Logo o subespaço solução é a reta gerada por (-1,0,1).

Resposta

(-1,0,1)

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